poj 2154 Color < 组合数学+数论>

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题意：给出两个整数 N 和 P，表示 N 个珠子，N种颜色，要求不同的项链数， 结果 %p ~

思路： 利用polya定理解~定理内容：

设是n个对象的一个置换群, 用m种颜色染图这n个对象，则不同的染色方案数为：

其中

，

为

的循环节数~

 

 

本题只有旋转一种置换方式，那么共有 N 个置换， 每个置换的循环节为 gcd(N,i)~

那么结果为∑(N^(gcd(N, i))) %P。  N为 1e9, 不能枚举 i , 但我们可以统计 gcd(N,i)==a 的有多少个~

令L==N/a, i==a*t,  即 a==gcd(N, i)==gcd(L*a, t*a), 此时只要满足 gcd(L, t)==1即可. 而1<=i<=N 即 1<=t<=N/a==L~

所以t的个数为 L 的欧拉函数,  所以 结果为:∑(Euler(L)*(n^(N/L)))%p ,为了避免最后做除法结果可化为∑(Euler(L)*(n^(N/L-1)))%p。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 const int MN = 5e4;
 typedef long long LL;
 int a[MN],p[MN], T, N, M, k;
 LL P_M( int a, int b )
 {
     LL res=, t=(LL)a%M;
     while(b){
         if(b&)res=(res*t)%M;
         t=(t*t)%M;
         b>>=;
     }
     return res;
 }
 void getp( )
 {
     for( int i=; i*i<=MN; i+= ){
         if(!a[i])
         for( int j=i+i; j<=MN; j+=i )
             a[j]=;
     }
     p[]=, k=;
     for( int i=; i<MN ; i+= )
         if(!a[i]) p[k++]=i;
 }
 int Euler( int x)
 {
     int res=x;
     for( int i=; i<k&&p[i]*p[i]<=x; ++ i ){
         if(x%p[i]==){
             res=res/p[i]*(p[i]-);
             while(x%p[i]==){

                  x=x/p[i];
             }
         }
     }
     if(x>)
         res=res/x*(x-);
     return res;
 }
 int main( )
 {
     getp();
     scanf("%d", &T);
     while(T--){
         scanf("%d%d", &N, &M);
         int i;
         LL ans=;
         for( i=; i*i<N; ++ i ){

             if(N%i==){
                   ans+=(LL)Euler(i)%M*P_M(N, N/i-);
                   ans%=M;
                   ans+=(LL)Euler(N/i)%M*P_M(N, i-);
                   ans%=M;
             }

         }
         if(i*i==N){
             ans+=(LL)Euler(i)%M*P_M(N, i-);
             ans%=M;
         }
         printf("%lld\n", ans);
     }
     return ;
 }