【题解】 UVa11300 Spreading the Wealth

题目大意

圆桌旁边坐着\(n\)个人，每个人有一定数量的金币，金币的总数能被\(n\)整除。每个人可以给他左右相邻的人一些金币，最终使得每个人的金币数量相等。您的任务是求出被转手的金币的数量的最小值。

Solution

考虑一下这个东西怎么做，假设每一个人向周围都可以传递对吧，设\(x_i\)表示\(i\)向\(i-1\)传递的金币数量，那么\(x_1\)就是\(1\)向\(n\)传递的金币数量，那么接下来我们考虑这个东西本质是什么？

设每一个人一开始有\(a_i\)个金币，那么显然，\(a_i+x_{i+1}-x_i=M\)(M为\(sum/n\))。我们要最小化\(\sum_{i=0}^{n-1}|x_i|\)

我们把这个转换一下：

\(x_i=a_i+x_{i+1}-M\)

但是这个是不好转换的，所以考虑通过\(i\)算\(i+1\)的贡献。

\(x_{i+1}=M+x_i-a_i\)

所以进一步转换就是

\[x_i=M+x_{i-1}-a_{i-1};
\]

那么我们再一次思考一下，是不是这个东西和数学中的中位数很像啊(想一想，为什么？)

设\(c_i=\sum_{j=1}^{i-1}a_j-M\)

那么\(c_i=c_{i-1}+a_i-M\)

然后答案就是什么呢？

\(x_i=abs(x_1-c_{i-1})\)

显然就是中位数了。

然后就可以维护了。

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//|author:Biscuit46                |\\
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//|Time:2018.10.29 16:33           |\\
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#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#define ll long long
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
using namespace std;
inline int gi(){
	int sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}
inline ll gl(){
	ll sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}
const int N=1000010;
long long a[N],C[N];
int main(){
	int i,j,n,m,k;
	while(scanf("%d",&n)==1){
		ll tot=0;
		for(i=0;i<n;i++)
			a[i]=gl(),tot+=a[i];
		ll M=tot/n;C[0]=0;
		for(i=1;i<n;i++)
			C[i]=C[i-1]+a[i]-M;
		sort(C,C+n);
		long long x=C[n/2],ans=0;
		for(i=0;i<n;i++)
			ans+=abs(x-C[i]);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}