[洛谷P1040] 加分二叉树

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题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入输出格式

输入格式：

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式：

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入样例#1：

5

5 7 1 2 10

输出样例#1：

145

3 1 2 4 5

一句话题意: 给出一个颗树,规定了它的中序遍历结果为\(1\)到\(n\),选定一个下标为\(i\)的元素,得到的价值为\(val_{(1,i-1)}*val_{(i+1,n)}+w_i\).问总共可以得到的最大价值(可以好好想一想这个计算过程是为什么).

题解: 仔细想一下题意,会发现这东西和树并没有什么关系.显然我们可以根据这个计算价值的方式直接递归求解.

然而这样的复杂度是\(O(n!)\)的,所以我们需要考虑一下优化.

我们可以在递归过程中加一个记忆化,同时在更新的时候也记录一下这个区间的选定的点.

最后记得要开long long.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=30+5;
const int inf=2147483647;
typedef long long lol;

lol n, a[N], pre[N][N], f[N][N];

lol solve(lol l,lol r){//递归求解过程
    lol res = -inf, temp;
    if(f[l][r]) return f[l][r];//记忆化
    if(l > r) return 1;
    if(l == r) return a[l];
    for(lol i=l;i<=r;i++){
	    temp = solve(l,i-1)*solve(i+1,r)+a[i];
	    if(temp > res) res = temp, pre[l][r] = i;//取最大值,并记录区间选定点.
    }
    return f[l][r] = res;
}

void out(lol l,lol r){
    if(l > r) return;
    if(l == r){ printf("%lld ",l); return;}
    printf("%lld ",pre[l][r]);
    out(l,pre[l][r]-1);
    out(pre[l][r]+1,r);
}

int main(){
    //freopen("data.in","r",stdin);
    cin >> n;
    for(lol i=1;i<=n;i++) cin >> a[i];
    printf("%lld\n",solve(1,n));
    out(1,n); printf("\n");
    return 0;
}