[HAOI2018]染色(NTT)

前置芝士

前置定义

\[\begin{aligned}\\
f_i=C_m^i\cdot \frac{n!}{(S!)^i(n-iS)!}\cdot (m-i)^{n-iS}\\
ans_i=\sum\limits_{j=i}^lim (-1)^{j-i}C_j^i f_j\\
\end{aligned}\]

理解：$m$种颜色选i种恰好出现$S$次，可重全排列，剩余块染色，不过这样有可能会出现剩余块种有恰好出现$S$次的情况，所以容斥一下

$C_j^i$：$f_j$里一定包含着$f_i$，要减掉，同时有可能减掉了在原本$j+1..$的东西

推式

\[\begin{aligned}\\
ans_i=\sum\limits_{j=i}^{lim} (-1)^{j-i}\frac{j!}{i!(j-i)!}f_j\\
ans_i\cdot i!=\sum\limits_{j=i}^{lim}(\frac{(-1)^{j-i}}{(j-i)!})\cdot (f_j\cdot j!)\\
\end{aligned}\]

设生产函数$G,F$分别对应$(\frac{(-1)^{j-i}}{(j-i)!}),(f_j\cdot j!)$，再把$F$翻转一下：

\[\begin{aligned}\\
ans_i\cdot i!&=\sum\limits_{j=i}^{lim}G_{j-i}\cdot F_{lim-j}\\
H&=G*F\\
ans_i\cdot i!&=H_{lim-i}\\
\end{aligned}\]

Code

上$NTT$模板就行

#include<bits/stdc++.h>

typedef long long LL;

const LL mod=1004535809,gg=3,maxn=1e7+9;

inline LL Read(){

    LL x(0),f(1); char c=getchar();

    while(c<'0' || c>'9'){

        if(c=='-') f=-1; c=getchar();

    }

    while(c>='0' && c<='9'){

        x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar();

    }

    return x*f;

}

inline LL Pow(LL base,LL b){

    LL ret(1);

    while(b){

        if(b&1) ret=ret*base%mod; base=base*base%mod; b>>=1;

    }return ret;

}

LL fac[maxn],fav[maxn],r[maxn];

inline LL Get_c(int n,int m){

    return fac[n]*fav[m]%mod*fav[n-m]%mod;

}

inline LL Fir(LL n){

    LL limit(1),len(0);

    while(limit<(n<<1)){

        limit<<=1; ++len;

    }

    for(int i=0;i<limit;++i) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<len-1);

    return limit;

}

inline void NTT(LL *a,int n,int type){

    for(int i=0;i<n;++i) if(i<r[i]) std::swap(a[i],a[r[i]]);

    for(LL mid=1;mid<n;mid<<=1){

        LL wn(Pow(gg,(mod-1)/(mid<<1)));

        if(type==-1) wn=Pow(wn,mod-2);

        for(LL R=mid<<1,j=0;j<n;j+=R){

            for(LL k=0,w=1;k<mid;++k,w=w*wn%mod){

                LL x(a[j+k]),y(a[j+mid+k]*w%mod);

                a[j+k]=(x+y)%mod; a[j+mid+k]=(x-y+mod)%mod;

            }

        }

    }

    if(type==-1){

        LL ty(Pow(n,mod-2));

        for(int i=0;i<n;++i) a[i]=a[i]*ty%mod;

    }

}

LL n,m,S,lim,ret;

LL W[maxn],f[maxn],g[maxn],h[maxn],ans[maxn];

int main(){

    n=Read(); m=Read(); S=Read();

    for(int i=0;i<=m;++i) W[i]=Read();

    lim=std::min(m,n/S);

    fac[0]=fac[1]=1;

    int up(std::max(n,m));

    for(int i=2;i<=up;++i)

        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

    fav[up]=Pow(fac[up],mod-2);

    for(int i=up;i>=1;--i)

        fav[i-1]=fav[i]*i%mod;

    for(int i=0;i<=lim;++i)

        f[i]=Get_c(m,i)*fac[n]%mod* Pow(Pow(fac[S],i),mod-2)%mod *fav[n-i*S]%mod *Pow(m-i,n-i*S)%mod *fac[i]%mod;

    for(int i=0;i<=(lim>>1);++i)

        std::swap(f[i],f[lim-i]);

    for(int i=0;i<=lim;++i)

        g[i]=(Pow(-1,i)*fav[i]+mod)%mod;

    LL limit(Fir(lim+1));

    NTT(f,limit,1); NTT(g,limit,1);

    for(int i=0;i<limit;++i) h[i]=g[i]*f[i]%mod;

    NTT(h,limit,-1);

    for(int i=0;i<=lim;++i) ans[i]=h[lim-i]*fav[i]%mod;

    for(int i=0;i<=lim;++i) ret=(ret+ans[i]*W[i]%mod)%mod;

    printf("%lld\n",ret);

    return 0;

}