一些树上dp的复杂度证明

以下均为内网

树上染色 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4033

可怜与超市 http://hzoj.com/contest/62/problem/5

可以简单的列出状态转移方程。

它的转移过程类似：

 void dfs(int x)
 {
     for(unsigned i=;i<p[x].size();++i) dfs(p[x][i]);
     int cur=;
     memset(tmp[cur],0x3f,sizeof(tmp[cur]));
     tmp[cur][][]=tmp[cur][][]=;
     for(unsigned i=;i<p[x].size();++i)
     {
         int now=sz[p[x][i]]; cur^=;
         memset(tmp[cur],0x3f,sizeof(tmp[cur]));
         for(int j=;j<=sz[x];++j)
             for(int k=;k<=now;++k)
             {
                 tmp[cur][][k+j]=min(tmp[cur][][k+j],tmp[cur^][][j]+dp[][p[x][i]][k]);
                 tmp[cur][][k+j]=min(tmp[cur][][k+j],tmp[cur^][][j]+dp[][p[x][i]][k]);
                 tmp[cur][][k+j]=min(tmp[cur][][k+j],tmp[cur^][][j]+dp[][p[x][i]][k]);
             }
         sz[x]+=now;
     }
     ++sz[x];
     dp[][x][]=; dp[][x][]=;
     for(int i=;i<=sz[x];++i) dp[][x][i]=tmp[cur][][i-]+wc[x];//db(dp[1][x][i]);
     for(int i=;i<=sz[x];++i) dp[][x][i]=min(tmp[cur][][i],tmp[cur][][i-]+c[x]);
 }

eg

看上去的复杂度是$O（n^3）$，

然而仔细分析，复杂度只有$O（n^2）$，可以通过n为5000左右的数据。

引入一个概念，（a，b）为树上的点对，则该点对在图中有$n^2$个

观察状态的转移，

在x节点范围内，设x有k个节点，

复杂度为：

$\sum \limits_{i=1}^{k}\sum \limits_{j=i}^{k}size_i*size_j$

我们发现这样求出来，恰好是lca为x的点对个数。

每个点对一定存在且仅存在一个lca，每个点对只会被统计不超过一次，

所以总的复杂度为$O(n^2)$。