一、定义

总述

状态压缩动态规划,就是我们俗称的状压DP,是利用计算机二进制的性质来描述状态的一种DP方式。

很多棋盘问题都运用到了状压,同时,状压也很经常和BFS及DP连用。

状压dp其实就是将状态压缩成2进制来保存 其特征就是看起来有点像搜索,每个格子的状态只有1或0 ,是另一类非常典型的动态规划

举个例子:有一个大小为n*n的农田,我们可以在任意处种田,现在来描述一下某一行的某种状态:

设n = 9;

有二进制数 100011011(九位),每一位表示该农田是否被占用,1表示用了,0表示没用,这样一种状态就被我们表示出来了:见下表

所以我们最多只需要 2^(n + 1) - 1的十进制数就好(二进制形式是n个1) 现在我们有了表示状态的方法,但心里也会有些不安:上面用十进制表示二进制的数,枚举了全部的状态,DP起来复杂度岂不是很大?没错,状压其实是一种很暴力的算法,因为他需要遍历每个状态,所以将会出现2^n的情况数量,不过这并不代表这种方法不适用:一些题目可以依照题意,排除不合法的方案,使一行的总方案数大大减少从而减少枚举

为了更好的理解状压dp,首先介绍位运算相关的知识。

  1. ’&’符号,x&y,会将两个十进制数在二进制下进行与运算(都1为1,其余为0) 然后返回其十进制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。
  2. ’|’符号,x|y,会将两个十进制数在二进制下进行或运算(都0为0,其余为1) 然后返回其十进制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。
  3. ’^’符号,x^y,会将两个十进制数在二进制下进行异或运算(不同为1,其余 为0)然后返回其十进制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。
  4. ’~’符号,~x,按位取反。例如~101=010。
  5. ’<<’符号,左移操作,x<<2,将x在二进制下的每一位向左移动两位,最右边用0填充,x<<2相当于让x乘以4。 ’>>’符号,是右移操作,x>>1相当于给x/2,去掉x二进制下的最右一位

1.判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。(最低第1位)

方法:if(((1<<(i−1))&x)>0) 将1左移i-1位,相当于制造了一个只有第i位 上是1,其他位上都是0的二进制数。然后与x做与运算,如果结果>0, 说明x第i位上是1,反之则是0。

2.将一个数字x二进制下第i位更改成1。

方法:x=x|(1<<(i−1)) 证明方法与1类似。

3.将一个数字x二进制下第i位更改成0。

方法:x=x&~(1<<(i−1))

4.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。

方法:x=x&(x−1)

二、典型例题

【例题1】骑士(P1896 [SCOI2005]互不侵犯)

题目描述

在 n×n(1<=n<=10) 的棋盘上放 k(0<=k<n×n)个国王,国王可攻击相邻的 8 个格子,求使它们无法互相攻击的方案总数。

输入格式

输入有多组方案,每组数据只有一行,包含两个整数 n 和 k。

输出格式

每组数据一行为方案总数,若不能够放置则输出 0。

输入样例

3 2

4 4

样例输出

16

79


实际状压dp顾名思义,就是采用位运算,来记录更多的必须记录的状态来做dp有了比较深的dp功底后只要对位运算有了解就可以解决问题。。。

考虑到每行每列之间都有互相的约束关系。因此,我们可以用行和列作为另一个状态的部分。用一个新的方法表示行和列的状态:数字。考虑任何一个十进制数都可以转化成一个二进制数,而一行的状态就可以表示成这样——例如:1010(2)

就表示:这一行的第一个格子没有国王,第二个格子放了国王,第三个格子没有放国王,第四个格子放了国王。而这个二进制下的数就可以转化成十进制: 10(10)

于是,我们的三个状态就有了:第几行(用i表示)、此行放什么状态(用j表示)、包括这一行已经使用了的国王数(用s表示)。

考虑状态转移方程。我们预先处理出每一个状态(s[x])其中包含二进制下1的个数,及此状态下这一行放的国王个数(num[x]),于是就有:

f[i][j][s]=sum(f[i−1][k][s−num[j]]),f[i][j][s]就表示在只考虑前i行时,在前i行(包括第i行)有且仅有s个国王,且第i行国王的情况是编号为j的状态时情况的总数。而k就代表第i-1行的国王情况的状态编号

【例题2】牧场的安排(P1879 [USACO06NOV]玉米田Corn Fields)

Farmer John 新买了一块长方形的牧场,这块牧场被划分成 M列 N 行  (1≤M≤12;1≤N≤12),每一格都是一块正方形的土地。FJ 打算在牧场上的某几格土地里种上美味的草,供他的奶牛们享用。遗憾的是,有些土地相当的贫瘠,不能用来放牧。并且,奶牛们喜欢独占一块草地,于是 FJ 不会选择两块相邻的土地,即:没有哪两块草地有公共边。当然,FJ 还没有决定在哪些土地上种草。 作为一个好奇的农场主,FJ 想知道,如果不考虑草地的总块数,那么,一共有多少种种植方案可供他选择。当然,把新的牧场荒废,不在任何土地上种草,也算一种方案。请你帮 FJ 算一下这个总方案数。

输入格式

第 1行:两个正整数 M 和 N,用空格隔开;第 2到 M+1行:每行包含 N 个用空格隔开的整数,描述了每块土地的状态。输入的第 i+1行描述了第 i行的土地。所有整数均为 0 或 1,1 表示这块土地足够肥沃,0 则表示这块地上不适合种草。

输出格式

第 1 行:输出一个整数,即牧场分配总方案数除以 10^8的余数。

样例输入

2 3

1 1 1

0 1 0

样例输出

9


题目大意

给N*M的棋盘,每个格子不是0就是1,1代表可以种草,否则不能。相邻两个格子不能同时种草,求种草的方案总数。

思路

状态压缩类动态规划,状压dp一般会有明显的数据范围特征,即n,m一般都在20以内。可将每一排的N个看成一个N位二进制,先预处理出每一行可以运行的状态,这样可以去掉很多无效状态(如110),然后DP处理,枚举当前有效状态和上一行有效状态的关系。

f[i][j] 表示第i行在状态j的时候的方案数,其中j我们用一个二进制数来表示。

转移的时候只要判断与当前行和上一行是否冲突即可,如果不冲突,分f[i][j]=∑f[i−1][k]其中k为不冲突的状态。Ans=∑1≤i≤numf[n][i] 就是最后的答案(num为状态总数)。

初始条件:f[1][i]=1 (1<=i<=a[1].num).

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