2018-2019 ACM-ICPC Nordic Collegiate Programming Contest (NCPC 2018)-E. Explosion Exploit-概率+状压dp

【Problem Description】

我方有$n$个人，对方有$m$个人，每个人都有一个健康值$h_i$，有$d$次攻击，每次随机从所有人中选$1$个人，减少其$1$健康值。问将对方所有人都消灭的概率是多少？

【Solution】

方法$1$：

将所有人的健康值作为一种状态，因为$h$最大为$6$，所以可以将所有人的健康值状态通过$7$进制数$hash$成一个整数，便于保存以及状态的转移。假设目前的状态$hash$值为$state$，健康值大于$0$的人数有$sz$个，枚举所有可能选择的人，对于其中一个人，使其健康值减$1$后的状态为$nextstate$，则有$dp[nextstate]=dp[state]\times \frac{1}{sz}$。经过$d$次之后所有状态中，将对方人数为$0$的概率加起来即可。

但是有几个问题：

最多会有$10$个人，所以可能需要$7^{10}=3\times 10^8$来保存状态，存不下，但是可以发现，存储状态的时候，与所有人的健康值的大小顺序无关，所以可以强制保证他们有序。这样只需要$2\times 10^5$。
转换为$7$进制且每个状态都对其排序后，最终无法知道那些人是对方的人。可以在保存的时候，将对方的人的健康值取负，这样排序后对方的人一定排在最前端。转换进制也改变为$13$进制，且对于每个人的健康值增加$6$的偏移值，保证健康值都是正数。这样最终只要判断一下最前端的人的健康值是否大于$0$即可。

方法$2$：

根据健康值分类，统计每种健康值的人数（己方与对方的人分开统计），然后将$6$种健康值对应的人数也通过$7$进制数$hash$到一个整数上，加上对方的人总共最多需要$12$位，且高位存储对方每种健康值的人数，这样可以通过判断$state$是否小于等于$all=(666666)_7$，来确定对方的人是否全被消灭。

然后就是转移，枚举健康值$i$，每次从健康值为$i$的人里选$1$个人，将其健康值减$1$，选择健康值为$i$的人的概率为$\frac{h[i]}{sum}$，其中$h[i]$为，健康值为$i$的人数，$sum$为总人数。所以有$dp[state]=dp[nextstate]*\frac{h[i]}{sum}$。

【Code】

//方法1

#include<iostream>

#include<iomanip>

#include<map>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<vector>

using namespace std;

#define int long long

map<int,double>dp; //dp[state]表示从初始状态转换到状态state的概率为dp[state]

vector<int>v;

int encode(vector<int>v){ //hash为13进制

	int ans=0,tmp=1;

	for(auto vv:v){

		ans+=(vv+6)*tmp; //增加6的偏移值，保证都为正数

		tmp*=13;

	}

	return ans;

}

vector<int> decode(int state){ //求每个人的健康值

	v.clear();

	while(state){

		v.push_back(state%13-6);

		state/=13;

	}

	sort(v.begin(),v.end()); //保证有序

	return v;

}

map<int,double> solve(){

	map<int,double>mp;

	for(auto v:dp){

		vector<int>state=decode(v.first);

		for(int i=0;i<state.size();i++){ //枚举每种选择，转移状态

			vector<int>copy(state);

			if(copy[i]>0) copy[i]--;

			else if(copy[i]<0) copy[i]++;

			if(copy[i]==0){ //将健康值为0的人去除

				copy.erase(copy.begin()+i);

			}else{

				sort(copy.begin(),copy.end()); //保证健康值有序

			}

			mp[encode(copy)]+=v.second*1.0/state.size();

		}

	}

	return mp;

}

signed main(){

	ios::sync_with_stdio(false);

	cin.tie(0);

	int n,m,d,sum1=0;cin>>n>>m>>d;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		int x;cin>>x;sum1+=x;

		v.push_back(x);

	}

	int sum2=0;

	for(int i=1;i<=m;i++){

		int x;cin>>x;sum2+=x;

		v.push_back(-x); //将对方的人健康值取负，以在最终的时候区别我方/对方

	}

	if(sum2>d){ //无法将对方所有人都消灭

		cout<<"0"<<endl;

		return 0;

	}

	if(sum1+sum2<=d){ //可将所有人都消灭

		cout<<"1"<<endl;

		return 0;

	}

	sort(v.begin(),v.end()); //保证有序

	dp[encode(v)]=1;

	for(int i=0;i<d;i++) dp=solve(); //转移d次

	double ans=0;

	for(auto v:dp){

		vector<int>t=decode(v.first);

		if(t.size()&&t[0]>0) ans+=v.second; //如果最小的人的健康值都大于0，则对方的人一定都被消灭

	}

	cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(9);

	cout<<ans<<endl;

	return 0;

}

//方法2

#include<iostream>

#include<iomanip>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<map>

using namespace std;

#define maxn 10

#define INF 0x3f3f3f3f

#define int long long

int h1[maxn]/*己方健康值为i的人数*/,h2[maxn]/*对方健康值为i的人数*/,all=0/*临界值*/;

int encode(){

	int ans=0;

	for(int i=1;i<=6;i++) ans=ans*7+h2[i]; //对方放在高6位

	for(int i=1;i<=6;i++) ans=ans*7+h1[i]; //己方放在低6位

	return ans;

}

map<int,double>dp;

double dfs(int pos,int state){

	if(dp.count(state)) return dp[state];

	double &ans=dp[state],sum=0;

	if(state<=all) return ans=1; //如果高6位全为0，则对方全被消灭

	if(pos==0) return ans=0;

	for(int i=1;i<=6;i++){

		if(!h1[i]) continue;

		sum+=h1[i]; //总人数

		h1[i]--;h1[i-1]++; //当前血量的人减少一个，前一个血量的人增加一个，使得总血量只减少了1

		ans+=(h1[i]+1)*dfs(pos-1,encode());

		h1[i]++;h1[i-1]--; //注意恢复

	}

	for(int i=1;i<=6;i++){

		if(!h2[i]) continue;

		sum+=h2[i];

		h2[i]--;h2[i-1]++;

		ans+=(h2[i]+1)*dfs(pos-1,encode());

		h2[i]++;h2[i-1]--;

	}

	ans/=sum; //最后除以总人数

	return ans;

}

signed main(){

	ios::sync_with_stdio(false);

	cin.tie(0);

	int n,m,d;cin>>n>>m>>d;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		int x;cin>>x;h1[x]++;

	}

	for(int i=1;i<=m;i++){

		int x;cin>>x;h2[x]++;

	}

	for(int i=1;i<=6;i++) all=all*7+6; //低6位全满时的最大值

	cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(9);

	cout<<dfs(d,encode())<<endl;

	return 0;

}