APIO2019简要题解

Luogu P5444 [APIO2019]奇怪装置

看到这种题，我们肯定会想到\((x,y)\)一定有循环

我们要找到循环节的长度

推一下发现\(x\)的循环节长为\(\frac{AB}{B+1}\)。等一下，\(t\)是整数，所以循环节长为\(\frac{AB}{GCD(A,B+1)}\)

\(y\)的循环节长为\(B\)

所以\((x,y)\)的循环节长为\(lcm(\frac{AB}{GCD(A,B+1)},B)=\frac{AB}{GCD(A,B+1)}\)

对每个时间段对循环节长取模进行区间覆盖即可

代码（用了__int128）

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
#define ll long long
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline ll read()
{
    register ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
inline ll Max(register ll a,register ll b)
{
	return a>b?a:b;
}
vector<pair<ll,ll> >v;
int n;
ll A,B;
int main()
{
	n=read(),A=read(),B=read();
	__int128 k=(__int128)A*B/__gcd(A,B+1);
	for(register int i=1;i<=n;++i)
	{
		ll l=read(),r=read();
		if(r-l+1>=k)
		{
			write((ll)k);
			return 0;
		}
		else
		{
			l%=k;
			r%=k;
			if(l<=r)
				v.push_back(make_pair(l,r));
			else
			{
				v.push_back(make_pair(l,(ll)k-1));
				v.push_back(make_pair(0ll,r));
			}
		}
	}
	sort(v.begin(),v.end());
	ll l=0,r=-1,ans=0;
	for(register int i=0;i<v.size();++i)
	{
		if(v[i].first<=r)
			r=Max(r,v[i].second);
		else
			ans+=r-l+1,l=v[i].first,r=v[i].second;
	}
	ans+=r-l+1;
	write(ans);
	return 0;
}

Luogu P5443 [APIO2019]桥梁

我们先考虑不带修改怎么做——珂以贪心地将桥的承受重量和车的重量从大到小排序，从大往小扫描车，用并查集维护边和答案

考虑有修改操作，我们珂以使用分块，设块的大小为\(blk\)

那么每个块中的修改操作不超过\(\frac{q}{blk}\)个

我们先把没有修改的边和所有询问的点像不带修一样从大到小排序，从大往小扫描车，对于每辆车，单独加入被修改的一些边，加入后通过并查集回退来撤销，所以并查集不能路径压缩，要按秩合并，处理完询问后要将原图更新，但是不能直接快排，新边要和原来已经有序的边进行合并排序，这个单块复杂度是\(O(m\alpha+\frac{n^2}{blk^2}\alpha+m)\)

我blk取的是\(\sqrt{n\log n}\)，所以总复杂度是\(O(m \sqrt{n\log n} \alpha)\)

#include <bits/stdc++.h>
#define M 100005
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
struct edge{
	int u,v,w,i;
}e[M],E[M],tmp[M];
bool operator < (edge a,edge b)
{
	return a.w!=b.w?a.w>b.w:a.i<b.i;
}
struct query{
	int id,t,b,r;
}q[M],tmp1[M],tmp2[M];
inline bool cmp(register query a,register query b)
{
	return a.b>b.b;
}
int fa[M],sz[M],top;
struct mste{
	int u,v;
}sta[M];
inline int getfa(register int x)
{
	return x==fa[x]?x:getfa(fa[x]);
}
inline void Merge(register int u,register int v)
{
	u=getfa(u);
	v=getfa(v);
	if(u==v)
		return;
	if(sz[u]<sz[v])
		u^=v^=u^=v;
	fa[v]=u;
	sz[u]+=sz[v];
	sta[++top]=(mste){u,v};
}
inline void cancel()
{
	int u=sta[top].u,v=sta[top].v;
	--top;
	fa[v]=v;
	sz[u]-=sz[v];
}
int n,m,Q,blk,tot,t1,t2,ans[M];
int vis[M],id[M],d[M];
inline void work()
{
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		vis[i]=0;
	for(register int i=1;i<=n;++i)
		fa[i]=i,sz[i]=1;
	t1=t2=top=0;
	for(register int i=1;i<=tot;++i)
		if(q[i].t==1)
			vis[q[i].b]=1,tmp1[++t1]=q[i];
		else
			tmp2[++t2]=q[i];
	sort(tmp2+1,tmp2+1+t2,cmp);
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		id[e[i].i]=i;
	for(register int i=1,p=1;i<=t2;++i)
	{
		while(p<=m&&e[p].w>=tmp2[i].b)
		{
			if(!vis[e[p].i])
				Merge(e[p].u,e[p].v);
			++p;
		}
		int lastop=top;
		for(register int j=1;j<=t1;++j)
			d[tmp1[j].b]=e[id[tmp1[j].b]].w;
		for(register int j=1;j<=t1;++j)
			if(tmp1[j].id<tmp2[i].id)
				d[tmp1[j].b]=tmp1[j].r;
		for(register int j=1;j<=t1;++j)
			if(d[tmp1[j].b]>=tmp2[i].b)
				Merge(e[id[tmp1[j].b]].u,e[id[tmp1[j].b]].v);
		ans[tmp2[i].id]=sz[getfa(tmp2[i].r)];
		while(top>lastop)
			cancel();
	}
	for(register int i=1;i<=t1;++i)
		e[id[tmp1[i].b]].w=tmp1[i].r;
	t1=t2=0;
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		if(vis[e[i].i])
			E[++t1]=e[i];
		else
			e[++t2]=e[i];
	sort(E+1,E+1+t1);
	merge(E+1,E+1+t1,e+1,e+1+t2,tmp+1);
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		e[i]=tmp[i];
}
int main()
{
	n=read(),m=read();
	blk=sqrt(n*log2(n));
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w=read(),e[i].i=i;
	sort(e+1,e+1+m);
	Q=read();
	for(register int i=1;i<=Q;++i)
	{
		int t=read();
		if(t==1)
		{
			int b=read(),r=read();
			q[++tot]=(query){i,t,b,r};
		}
		else
		{
			int s=read(),w=read();
			q[++tot]=(query){i,t,w,s};
		}
		if(tot==blk)
			work(),tot=0;
	}
	if(tot)
		work();
	for(register int i=1;i<=Q;++i)
		if(ans[i])
			write(ans[i]),puts("");
	return 0;
}

Luogu P5445 [APIO2019]路灯

这道题珂以暴力数据结构

我们用树状数组套主席树

每个点开个主席树，每个位置表示假如之后再也不修改，能到那个位置的次数（包括修改前的次数）

树状数组维护主席树的和

这样就珂以方便的进行差分

上代码（不想说了，自己看，简单易懂）

注意主席树中存的是之后再也不修改的答案数，要根据情况判断是否要减去一些

#include <bits/stdc++.h>
#define N 300005
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
int n,q,c[N];
set<int> st;
set<int>::iterator now,pre,nxt;
struct node{
	int ls,rs,val;
}tr[N*40];
int tot,rt[N];
inline void change(register int &x,register int l,register int r,register int pos,register int val)
{
	if(!x)
		x=++tot;
	tr[x].val+=val;
	if(l==r)
		return;
	int mid=l+r>>1;
	if(pos<=mid)
		change(tr[x].ls,l,mid,pos,val);
	else
		change(tr[x].rs,mid+1,r,pos,val);
}
inline int querys(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R)
{
	if(!x)
		return 0;
	if(L<=l&&r<=R)
		return tr[x].val;
	int mid=l+r>>1,res=0;
	if(L<=mid)
		res+=querys(tr[x].ls,l,mid,L,R);
	if(R>mid)
		res+=querys(tr[x].rs,mid+1,r,L,R);
	return res;
}
inline int lowbit(register int x)
{
	return x&(-x);
}
inline void modify(register int x,register int pos,register int val)
{
	while(x<=n+1)
		change(rt[x],1,n+1,pos,val),x+=lowbit(x);
}
inline int query(register int x,register int pos)
{
	int res=0;
	while(x)
		res+=querys(rt[x],1,n+1,1,pos),x-=lowbit(x);
	return res;
}
int main()
{
	n=read(),q=read();
	for(register int i=1;i<=n;++i)
	{
		char ch=getchar();
		while(ch!='0'&&ch!='1')
			ch=getchar();
		c[i]=ch-'0';
	}
	st.insert(0),st.insert(n+1);
	modify(1,1,q);
	for(register int i=1,j=0;i<=n;++i)
	{
		if(c[i]==1)
			continue;
		st.insert(i);
		modify(j+1,i+1,-q);
		modify(i+1,i+1,q);
		j=i;
	}
	while(q--)
	{
		char ch=getchar();
		while(ch!='t'&&ch!='q')
			ch=getchar();
		if(ch=='t')
		{
			int x=read(),v=(c[x]==0)?1:-1;
			if(c[x]==1)
				st.insert(x);
			now=st.find(x);
			pre=nxt=now;
			--pre,++nxt;
			modify(*pre+1,x+1,q*v);
			modify(x+1,x+1,-q*v);
			if(*nxt!=n+1)
			{
				modify(*pre+1,*nxt+1,-q*v);
				modify(x+1,*nxt+1,q*v);
			}
			if(c[x]==0)
				st.erase(x);
			c[x]^=1;
		}
		else
		{
			int a=read(),b=read();
			write(query(a,b)-q*(st.lower_bound(a)==st.lower_bound(b))),puts("");
		}
	}
	return 0;
}