P2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第 222 、 444 行和第 222 、 444 、 555 列交叉位置的元素得到一个 2×32 \times 32×3 的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个 2×32 \times 32×3 的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

1. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

2. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个 nnn 行 mmm 列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个 rrr 行 ccc 列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及## 题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第 222 、 444 行和第 222 、 444 、 555 列交叉位置的元素得到一个 2×32 \times 32×3 的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个 2×32 \times 32×3 的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

1. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

2. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个 nnn 行 mmm 列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个 rrr 行 ccc 列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数 n,m,r,cn,m,r,cn,m,r,c ，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的 nnn 行，每行包含 mmm 个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个 nnn 行 mmm 列的矩阵。

输出格式：

一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 5 2 3

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

输出样例#1： 复制

6

输入样例#2： 复制

7 7 3 3

7 7 7 6 2 10 5

5 8 8 2 1 6 2

2 9 5 5 6 1 7

7 9 3 6 1 7 8

1 9 1 4 7 8 8

10 5 9 1 1 8 10

1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2： 复制

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的 222 行 333 列的子矩阵由原矩阵的第 444 行、第 555 行与第 111 列、第 333 列、第 444 列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为:

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第 444 行、第 555 行、第 666 行与第 222 列、第 666 列、第 777 列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8

9 8 8

5 8 10

【数据说明】

对于 50%50%50% 的数据， 1≤n≤12,1≤m≤121 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 121≤n≤12,1≤m≤12 ，矩阵中的每个元素 1≤aij≤201 ≤ a_{ij} ≤ 201≤aij​≤20 ；

对于 100%100%100% 的数据， 1≤n≤16,1≤m≤161 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 161≤n≤16,1≤m≤16 ，矩阵中的每个元素 1≤aij≤1,000,1≤r≤n,1≤c≤m1 ≤ a_{ij} ≤ 1,000,1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m1≤aij​≤1,000,1≤r≤n,1≤c≤m 。T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数 n,m,r,cn,m,r,cn,m,r,c ，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的 nnn 行，每行包含 mmm 个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个 nnn 行 mmm 列的矩阵。

输出格式：

一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 5 2 3

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

输出样例#1： 复制

6

输入样例#2： 复制

7 7 3 3

7 7 7 6 2 10 5

5 8 8 2 1 6 2

2 9 5 5 6 1 7

7 9 3 6 1 7 8

1 9 1 4 7 8 8

10 5 9 1 1 8 10

1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2： 复制

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的 222 行 333 列的子矩阵由原矩阵的第 444 行、第 555 行与第 111 列、第 333 列、第 444 列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为:

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第 444 行、第 555 行、第 666 行与第 222 列、第 666 列、第 777 列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8

9 8 8

5 8 10

【数据说明】

对于 \(50\%\)的数据， \(1 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 12\)，矩阵中的每个元素 \(1 ≤ a_{ij} ≤ 20\)；

对于 \(100\%\) 的数据， \(1≤n≤16,1≤m≤16\) ，矩阵中的每个元素 \(1 ≤ a_{ij} ≤ 1,000,1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m\)。

---

先爆搜出\(r\)行，再在选出的行中dp选出\(c\)列即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int i,m,n,j,k,a[20][20],b[20][20],r,c,d[20],w[20],f[20][20],ans=0x3f3f3f3f;

void dp()
{
	memset(w,0,sizeof(w));
	memset(b,0,sizeof(b));
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=2;j<=r;j++)
			w[i]+=abs(a[d[j]][i]-a[d[j-1]][i]);
	for(int i=1;i<m;i++)
		for(int j=i+1;j<=m;j++)
			for(int l=1;l<=r;l++)
				b[i][j]+=abs(a[d[l]][i]-a[d[l]][j]);
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=min(i,c);j++)
			for(int l=j-1;l<i;l++)
				f[i][j]=min(f[i][j],f[l][j-1]+b[l][i]+w[i]);
	for(int i=c;i<=m;i++) ans=min(ans,f[i][c]);
}

void dfs(int k,int now)
{
	if(k==r) {dp(); return;}
	for(int i=now;i<=n-r+k+1;i++) d[k+1]=i,dfs(k+1,i+1);
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
	dfs(0,1);
	printf("%d",ans);
}