POJ 2229 Sumsets(技巧题, 背包变形)

discuss 看到有人讲完全背包可以过, 假如我自己做的话, 也只能想到完全背包了

思路:

1. 当 n 为奇数时, f[n] = f[n-1], 因为只需在所有的序列前添加一个 1 即可, 所有的序列同时延迟 1 位, 不会出现重复

　　若是这个 1 和其他的1组成 2 而不是放在首位, 怎么办? 不会这样, 因为这个序列肯定已经存在了

　　证明, 假设sum(s1) = 2*k, s1内部某个1加1得到 s2, 则 sum(s2) = 2*k+1, s2 的首位仍然肯定是1, 那么 s2 也可以通过 s3 延长而来, 所以必然已经存在了

　　

2. 当 n 为偶数时, 分为两种情况

　　<1> 某个序列首位为1, 则该序列由 f(n-1) 延长而来

　　<2> 当某个序列首位为2, 则该序列没有1, 将该序列的所有元素除以 2, 则 是 f(n/2)的序列

f[n] = f[n-1]+f[n/2]

代码:

#include <iostream>
using namespace std;

int dp[1000001];

int main() {
	int N;
	cin >> N;
	dp[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= N; i ++) {
		if(i&1 == 1) { // odd
			dp[i] = dp[i-1];
		}else{	//even
			dp[i] = (dp[i-1]+dp[i>>1])%1000000000;
		}
	}
	cout << dp[N] << endl;
	return 0;
}