题解 - Japanese Student Championship 2021

前言：这场的题解由于蓝桥杯比赛拖延几天才发

关于本篇题解，目前还是有部分题没有解答出来正在加油补题ing

补题链接：Here

A - Competition

题意：给定 $X,Y,Z$ 代表的意义为，超市一以 Y 元卖 X 克食料包

现在超市二的一包食料包重 $Z$ 克，请问超市二的售价为多少才能比超市一便宜

思路：

理解一下题意就容易发现：$\lfloor\frac{YZ - 1}{X}\rfloor$

B - Xor of Sequences

给定两个严格上升的整数序列 A，B，现求仅出现在A和B的数字，最后结果升序打印

思路：

由于两个序列数据范围不大，直接暴力循环即可

然后赛后看了一下高rank的代码发现了一个函数：set_symmetric_difference

**set_symmetric_difference **可构造区间S1,S2的对称差集（出现于S1但不出现于S2的元素以及出现于S2但不出现于S1的元素）;返回值为指向输出区间的尾端。

void solve() {

    int n, m;

    cin >> n >> m;

    vector<int> A(n), B(m);

    for (int &x : A) cin >> x;

    for (int &x : B) cin >> x;

    vector<int> C;

    set_symmetric_difference(A.begin(), A.end(), B.begin(), B.end(), back_inserter(C));

    for (int x : C) cout << x << " ";

}

C - Max GCD 2

题意：给定一个区间，问 $A \le x < y \le B$ 求问最大的 $gcd(x,y)$

说实话，比赛的时候还真没想到这个方法。

思路：

由于数对 $(x,y)$ 的个数最多 $2\times 10^{10}$ ，所以我们不可能计算每一对 $(x,y)$ ，相反的、并考虑是非问题“是否存在一对 $(x,y)$ 使得 $gcd (x，y) = c$？”

因为 $c$ 是最大公约数，所以 $x,y$ 都应该是 $c$ 的倍数，相反如果在 $[A,B]$ 区间中 $c$ 的倍数多于两个值，则可以选择 $x,y$ 使得 $gcd(x,y) = c$ 成立

由于 $B \le 2\times10^5$ 所以运行速度会足够快

把上面的话转化为数学表达式：A ~ B 之间 C 的倍数 = （C 的倍数在 $1$ ~ $B$ 之间） - （C 的倍数在 $1$ ~ $A$ 之间）= $\lfloor\frac{B}{c}\rfloor - \lfloor\frac{A - 1}{c}\rfloor$

再转化一下就是检查 $\lfloor\frac{A}{c}\rfloor < \lfloor\frac{B}{c}\rfloor$

Show Code

void solve() {

    int A, B;

    cin >> A >> B;

    for (int c = B;; c--)

        if ((A + c - 1) / c < B / c) {

            cout << c << endl;

            return;

        }

}

D - Nowhere P

给定质数 $P$ ，求有多少序列 $(A_1,A_2,\dots,A_N)$ 满足：

\[\forall i\in[1,n]_\mathbb{N},\sum_{j = 1}^i A_j \not \equiv 0\ (mod\ P)
\]

显然，当 $n = 1$ 时答案为 $P - 1$ ，对应合法序列为 $(1),(2),\dots,(p - 1)$

之后在这些合法序列后插入新数时，每个序列都有且仅有一个数使得这个数插入后该序列非法（该数即为 $(-\sum_ia_i)\ mod\ p$

故答案为：$(p -1)(p-2)^{N-1}$

跑 qpow 的时候记得取模

Show Code

const int mod = 1e9 + 7;

ll qpow(ll a, ll b) {

    ll ans = 1;

    a %= mod;

    for (; b; b >>= 1, a = a * a % mod)

        if (b & 1) ans = ans * a % mod;

    return ans;

}

void solve() {

    ll N, P;

    cin >> N >> P;

    cout << (P - 1) * qpow(P - 2, N - 1) % mod;

}

E - Level K Palindrome

本题所有的字符串均指只由小写英文字母构成的字符串

对字符串 $s$,

定义其反转为: $\operatorname{rev}(s)$, 则 $s$ 是回文串 $\Longleftrightarrow$ $s = rev(s)$
$+$ 运算定义为字符串的拼接
定义字符串上的变换为：将其中某一字符替换为一小写英文字母

定义 $k$ 阶回文串如下:

空串，非回文串为 $0$ 阶回文串
对 $i$ 阶非空回文串 $s$ 定义 $s + rev(s)$ 为 $i + 1$ 阶回文串
对 $i$ 阶非空回文串 $s$ 和单个字符 $c_i$ $s + c + rev(s)$ 为 $i + 1$ 阶回文串

给一字符串 $s$ 问至少经几次变换可使其恰好为 $k$ 阶回文串

解题思路

显然，若有解则 $k$ 不可能过大

待补

F - Max Matrix

有一个长为 $n$ 的全零序列 $a$ 和长为 $m$ 的全零序列 $b$ ,对其做如下操作

将 $a$ 中的某个数赋一个值
将 $b$ 中的某个数赋一个值

这两种操作一共进行 $Q$次，要求每次操作后都要输出

\[\sum_{i = 1}^n\sum_{j =1}^Mmax\{a_i,a_j\}
\]

待补

G - Spanning Tree

有n个点，考虑以这n个点为顶点，满足如下条件的所有图:

无向图
给出一个矩阵 $A$
- 若 $A_{i,j}=0$,则点 $i$ 和点 $j$ 间没有边
- 若 $A_{i,j}=0$,则点 $i$ 和点 $j$ 间没有边
- 若 $A_{i,j}=-1$,则为上述两种情况的任-种

求这些图中树的个数

思路

首先，考虑所以已经存在的边构成的图，如果有环了，则答案一定为0,否则森林中的每个树都可缩成一个点，之后用矩阵树定理即可

H - Shipping

给一个带权无向图，求满足如下条件的子图的最小边权和

\[\forall \in[1,M]_\mathbb{N},dis(x_i,y_i) \not= ∞
\]