QOJ 6504. CCPC Final 2022 D Flower's Land 2题解

QOJ 6504. CCPC Final 2022 D Flower's Land 2题解

题意简述

给你一个只含 \(0,1,2\) 的序列，相邻两个相同的数字可以直接消掉。

询问包含两种

• 区间所有数 \(+1\) 并对 \(3\) 取模。

• 求一段区间能否用上述消除方式消完。

  样例输入

  8 9
  01211012
  2 4 5
  2 3 6
  1 6 8
  1 6 8
  2 3 6
  2 1 8
  1 1 1
  1 7 7
  2 1 8
  

  样例输出 #1

  Yes
  No
  Yes
  No
  Yes
  

提示

在我们做相邻两个能被消掉，判断一段区间能否被消掉时，常常用矩阵来考虑。

把每一种颜色用一种矩阵来表示，若当前位是偶数就设为这个矩阵，若当前位是奇数就设为这个矩阵的逆。

求解就把所有的矩阵乘起来，看最后结果矩阵是不是 \(I\) 。

为什么矩阵是正确的呢？因为矩阵满足结合律但不满足交换律。

这样就可以保证 \(1,2,3,1,2,3\) 会判断为错。

如果还没理解，下面再解释详细一点：

这是一段序列 \(0122221000\) 显然他是合法的。

在矩阵中，因为满足结合律，你先算中间那段 \(2222\) ，因为奇数和偶数个数相同，一定为 \(I\) ，相当于没有了，变成了 \(0110000\) 。一直向下就可以得到 \(I\)。

题解

我们用线段树来维护矩阵乘法，这很容易，具体就是加了以后如何在矩阵中体现出来。

因为只有 \(0,1,2\) ，我们把当前，\(+1\) 后， \(+2\) 后的矩阵都记录下来。这样就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10, mod = 998244353;
int n,q;
char x;
int a[N], opt, l, r;
inline ll mpow(ll x,int k){
	ll ans = 1;
	while(k){
		if(k & 1) ans = ans * x % mod;
		x = x * x % mod;
		k >>= 1;
	}
	return ans;
}
struct Mar{
	ll a[3][3];
	inline Mar operator *(const Mar b)const{
		Mar c;
		for(int i = 1; i <= 2; ++i){
			for(int j = 1; j <= 2; ++j){
				c.a[i][j] = 0;
				for(int k = 1;k <= 2; ++k){
					c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j] % mod) % mod;
				}
			}
		}
		return c;
	}
	inline bool check(){
		if(a[1][1] != 1) return 0;
		if(a[1][2] != 0) return 0;
		if(a[2][1] != 0) return 0;
		if(a[2][2] != 1) return 0;
		return 1;
	}
	inline Mar inv()const{
		Mar c, b;
		c.a[1][1] = 1;
		c.a[1][2] = 0;
		c.a[2][1] = 0;
		c.a[2][2] = 1;
		for(int i = 1; i <= 2; ++i)for(int j = 1; j <= 2; ++j) b.a[i][j] = a[i][j];
		for(int i = 1; i <= 2; ++i){
			for(int j = 1; j <= 2; ++j){
				if(i == j) continue;
				ll w = b.a[j][i] * mpow(b.a[i][i],mod - 2) % mod;
				for(int k = 1; k <= 2; ++k){
					b.a[j][k] = (b.a[j][k] - b.a[i][k] * w % mod + mod) % mod;
				}
				for(int k = 1; k <= 2; ++k){
					c.a[j][k] = (c.a[j][k] - c.a[i][k] * w % mod + mod) % mod;
				}
			}
		}
		for(int i = 1; i <= 2; ++i){
			for(int j = 1; j <= 2; ++j){
				c.a[i][j] = c.a[i][j] * mpow(b.a[i][i],mod - 2) % mod;
			}
		}
		return c;
	}
	inline void print(){
		for(int i = 1; i <= 2; ++i){
			for(int j = 1; j <= 2; ++j){
				cout<<a[i][j]<<' ';
			}
			cout<<'\n';
		}
	}
}I;
struct node{
	Mar now,nxt,nnt;
	int tag;
}tr[N << 2];
Mar m[3], m_[3];
inline void pre(){
	I.a[1][1] = 1,
	I.a[1][2] = 0;
	I.a[2][1] = 0;
	I.a[2][2] = 1;

	m[0].a[1][1] = 2,m[0].a[1][2] = 3;
	m[0].a[2][1] = 5,m[0].a[2][2] = 7;

	m[1].a[1][1] = 11,m[1].a[1][2] = 13;
	m[1].a[2][1] = 17,m[1].a[2][2] = 19;

	m[2].a[1][1] = 23,m[2].a[1][2] = 29;
	m[2].a[2][1] = 31,m[2].a[2][2] = 37;

	m_[0] = m[0].inv();
	m_[1] = m[1].inv();
	m_[2] = m[2].inv();
}
inline void input(){
	cin>> n >> q;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		cin>>x;
		a[i] = x - '0';
	}
}
inline void pd(int x){
	cout<<"now:"<<'\n';
	tr[x].now.print();
	cout<<"nxt:"<<'\n';
	tr[x].nxt.print();
	cout<<"nnt:"<<'\n';
	tr[x].nnt.print();
	cout<<"tag:"<<'\n'<<tr[x].tag<<'\n';
}
inline void downdate(int x){
	tr[x << 1].tag = (tr[x << 1].tag + tr[x].tag) % 3;
	tr[x << 1 | 1].tag = (tr[x << 1 | 1].tag + tr[x].tag) % 3;
	while(tr[x].tag > 0){
		swap(tr[x << 1].now, tr[x << 1].nxt);
		swap(tr[x << 1].nnt, tr[x << 1].nxt);
		swap(tr[x << 1 | 1].now, tr[x << 1 | 1].nxt);
		swap(tr[x << 1 | 1].nnt, tr[x << 1 | 1].nxt);
		--tr[x].tag;
	}
}
inline void pushup(int x){
	tr[x].now = tr[x << 1].now * tr[x << 1 | 1].now;
	tr[x].nxt = tr[x << 1].nxt * tr[x << 1 | 1].nxt;
	tr[x].nnt = tr[x << 1].nnt * tr[x << 1 | 1].nnt;
}
inline void build(int x, int l, int r){
	if(l == r){
		if(l % 2){
			tr[x].now = m_[a[l]];
			tr[x].nxt = m_[(a[l] + 1) % 3];
			tr[x].nnt = m_[(a[l] + 2) % 3];
		}else{
			tr[x].now = m[a[l]];
			tr[x].nxt = m[(a[l] + 1) % 3];
			tr[x].nnt = m[(a[l] + 2) % 3];
		}
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(x << 1, l, mid);
	build(x << 1 | 1, mid + 1, r);
	pushup(x);
}
inline void adtr(int x){
	tr[x].tag = (tr[x].tag + 1) % 3;
	swap(tr[x].now, tr[x].nxt);
	swap(tr[x].nnt, tr[x].nxt);
}
inline void add(int x, int l, int r, int L, int R){
	if(L <= l && r <= R){
		adtr(x);
		return ;
	}
	downdate(x);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) add(x << 1, l, mid, L, R);
	if(R > mid) add(x << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
	pushup(x);
}
inline Mar query(int x, int l, int r, int L, int R){
	if(L <= l && r <= R){
		// cout<<x<<'\n';
		// tr[x].now.print();
		return tr[x].now;
	}
	downdate(x);
	int mid = (l + r) >> 1;
	Mar ans = I;
	if(L <= mid) ans = ans * query(x << 1, l, mid, L, R);
	if(R > mid) ans = ans * query(x << 1 | 1,mid + 1, r, L, R);
	return ans;
}
inline void op(){
	build(1,1,n);
	for(int i = 1; i <= q; ++i){
		cin>> opt >> l >> r;
		if(opt == 1){
			add(1, 1, n, l, r);
		}else if(opt == 2){
			if(query(1, 1, n, l, r).check()){
				cout<<"Yes"<<'\n';
			}else{
				cout<<"No"<<'\n';
			}
		}
	}
}

int main(){
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
	pre();
	input();
	op();
	return 0;
}