【LeetCode动态规划#09】完全背包问题实战，其二（零钱兑换和完全平方数--求物品放入个数）

零钱兑换

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给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

示例 4：

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

示例 5：

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
0 <= amount <= 10^4

思路

硬币可以无限次使用，典型的完全背包问题（正序遍历）

注意这次是要求放入硬币的个数，最少个数

不多说直接看

五步走

1、确定dp数组的含义

dp[j]:能够凑出总金额j的最少硬币数

2、确定递推公式

如何推导出dp[j]? 这里还是可以分为放入硬币和不放入硬币两种情况（详见）

（1）不放入

如果不放入硬币，那么就还是取上一层遍历递推的结果，即dp[j] (体现用一维数组解决背包问题时，数组的“滚动”，可以联系零钱兑换II 的解释)

即dp[j] = dp[j];

（2）放入硬币

假设我们现在遍历到j - coins[i]的容量，此时能凑出总金额j - coins[i]的最少硬币数是dp[j - coins[i]]

我们要求的是总金额为j（即容量为j）的最少硬币数，显然只需j - coins[i] + coins[i]即可，也就是再放一个硬币进背包。

那么相当于此时遍历到了背包容量j，又因为硬币放入背包时要占空间的，所以背包容量还是可以表示为j - coins[i]

此时，能凑出总金额j的最少硬币数是dp[j - coins[i]] + 1，加的1是指放入的这个硬币

即dp[j] = dp[j - coins[i]] + 1；

由于我们求的是最少硬币数，因此需要取这两者中更小的那个，那么递推公式就是

dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);

3、初始化dp数组

这里不要惯性思维直接把dp[0]初始化为1，先看看题目

题目给的示例中明确了，dp[0] = 0

那其他位置呢？因为我们要找的的是最少硬币数，也就是递推过程中的最小值

为了不影响最小值的更新，应该将其余部分的值初始化为最大整数INT_MAX

4、确定遍历顺序

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

代码

class Solution {

public:

    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {

        //定义dp数组并初始化

        //因为要找的是更小的递推值，所以初始值应该设为最大值

        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);

        //由题目给的示例可知，dp[0]时应该是0

        dp[0] = 0;

        //遍历dp数组，顺序无所谓，因为要找的是使用硬币的最少个数

        for(int i = 0; i < coins.size(); ++i){

            for(int j = coins[i]; j <= amount; ++j){

                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过

                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);//注意这里找的是硬币个数

                }

            }

        }

        //如果递推公式推导最后发现最后的值还是初始值，说明没有找到组合，返回-1

        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;

        return dp[amount];

    }

};

完全平方数

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给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。

完全平方数是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

1 <= n <= 10^4

思路

"若干个完全平方数"---物品

"给定正整数 n"---背包容量

又由示例1可知，物品可以重复使用，因此这是一个完全背包

五步走

1、确定dp数组含义

dp[j]:给定整数j时，能放入使和为j的完全平方数的最少数量是dp[j]

2、确定递推公式

如何推导出dp[j]？

当然还是从两个方向：加上当前的完全平方数或者不加

所以dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);这里求的是数量，所以仍然是加1

注意，所谓的"完全平方数"就是整数的平方，每个数的平方都是"完全平方数"

本题是要用"完全平方数"来装背包，所以好获取"完全平方数"，只需在背包容量上限内不断循环一个自增的值，然后取平方即可（i*i）

3、初始化dp数组

联系dp定义，dp[0]:给定整数0时，能放入使和为j的完全平方数的最少数量是dp[0]

感觉dp[0]时应该是没有能放进去的（这里理由还没想好，以后可能有补充），并且题目是从1开始给的整数，就没有0这种情况

那么暂定dp[0] = 0(不行再改1)，然后其余部分分的初始化还是INT_MAX（原因见上一题）

4、确定遍历顺序

完全背包，正序遍历

然后因为不是求排列或组合，遍历物品和容量时的顺序可以调换

代码

class Solution {

public:

    int numSquares(int n) {

        //定义dp数组

        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);

        //初始化

        dp[0] = 0;

        //遍历dp数组

        for(int i = 1; i*i <= n; ++i){//遍历物品

            for(int j = i*i; j <= n; ++j){//遍历背包容量,

                dp[j] = min(dp[j], dp[j - (i * i)] + 1);

            }

        }

        return dp[n];

    }

};

在代码实现中要注意两层for循环的处理细节

这里我们用来放入的“物品”是"完全平方数"，也就是i*i

不像之前的题，我们从一个数组之类的地方把物品取出来放入就行

这里的物品需要使用循环值来“现用现算”

对于i*i <= n，其实就相当于之前的j = coins[i]; j <= amount

第二层for循环也是同理，将i*i这个整体看成物品即可