数据结构1 「在线段树中查询一个区间的复杂度为 $O(\log N)$」的证明

线段树属于二叉树, 其核心特征就是支持区间加法，这样就可以把任意待查询的区间$[L, R]$分解到线段树的节点上去，再把这些节点的信息合并起来从而得到区间$[L,R]$的信息。

下面证明在线段树上查询任意区间的复杂度是$O(\log{N})$的，$N$是区间总长度。

由于访问一个节点（即获得一个节点内与待查询区间$[L, R]$相关的信息）是$O(1)$的，只要证明查询一个区间要访问的节点数是$O(\log{N})$的。

如果某个节点完全包含在$[L,R]$内，则不会再向下查询，我们称这样的节点为完整节点，如果所查询的节点只有一部分在$[L,R]$内，则还要从这个节点向下查询，我们称这样的节点为部分节点。

由于区间的连续性，我们有：

在线段树的每一层内

1. 部分节点最多只有$2$个，而且与$[L,R]$交在两端。
2. 完整节点最多有 $2$ 个， 因为完整节点的兄弟一定不是完整节点，否则它们的父亲也是完整节点，矛盾！ 换言之，对于完整节点 $u$ 和 $u$ 的兄弟 $v$ ，若 $v$ 被访问到，则 $v$ 必为部分节点，若 $v$ 未被访问，则 $u$ 必在区间 $[L,R]$ 的某一端。

所以每一层内最多访问4个节点，而线段树有 $O(\log{N})$ 层，所以复杂度是 $O(\log{N})$ 。

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UPD:

上面的证明虽然已经十分简洁, 但我觉得还是有点故弄玄虚...

很容易看出只有部分节点才会分裂为下层的两个节点, 而部分节点最多有两个, 更直白一点, 只有两端的节点才会分裂 , (诚如某君所言, 借助形象思维)很容易就得到每层内最多访问4个节点.

这篇小文简直败笔... 逃....