[USACO5.3]Big Barn (动态规划)

题目描述

农夫约翰想要在他的正方形农场上建造一座正方形大牛棚。他讨厌在他的农场中砍树，想找一个能够让他在空旷无树的地方修建牛棚的地方。我们假定，他的农场划分成 N x N 的方格。输入数据中包括有树的方格的列表。你的任务是计算并输出，在他的农场中，不需要砍树却能够修建的最大正方形牛棚。牛棚的边必须和水平轴或者垂直轴平行。

EXAMPLE

考虑下面的方格，它表示农夫约翰的农场，‘.'表示没有树的方格，‘#'表示有树的方格

1 2 3 4 5 6 7 8

1 . . . . . . . .

2 . # . . . # . .

3 . . . . . . . .

4 . . . . . . . .

5 . . . . . . . .

6 . . # . . . . .

7 . . . . . . . .

8 . . . . . . . .

最大的牛棚是 5 x 5 的，可以建造在方格右下角的两个位置其中一个。

输入输出格式

输入格式：

Line 1: 两个整数： N （1 <= N <= 1000），农场的大小，和 T （1 <= T <= 10，000）有树的方格的数量

Lines 2..T+1: 两个整数（1 <= 整数 <= N), 有树格子的横纵坐标

输出格式：

只由一行组成，约翰的牛棚的最大边长。

输入输出样例

输入样例#1：

8 3

2 2

2 6

6 3

输出样例#1：

5

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 5.3

Solution

这个题题意很简单,就是求该区域里最大的不包括树的正方形.

然后应该可以想到是动态规划.但是似乎之前没做过类似的题目,被这道题还卡了10分钟...




状态定义:

\[f[i][j]
\]

表示当前到 i,j 这个点最大的正方形的边长.

那么当我们要推广新点的时候,只可能有一下几种情况:

1. 加 1 排.
2. 加 1 列.
3. 加 1 排, 1 列.

然后就可以得到

转移方程:

\[f[i][j]=min(f[i-1][j-1],min(f[i-1][j],f[i][j-1]))+1;
\]

为什么要取 min 应该也很好理解额...

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1008;
int n,t,ans;
int c[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>t;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
    	int x,y;
       	cin>>x>>y;
        c[x][y]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
       if(!c[i][j])
       {
          f[i][j]=min(f[i-1][j-1],min(f[i-1][j],f[i][j-1]))+1;
          ans=max(ans,f[i][j]);
       }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}