UVA 1473 Dome of Circus
https://cn.vjudge.net/problem/UVA-1473
题目
给出一些点,问包含这些点的最小圆锥(要求顶点在y轴,底面圆心在原点)的体积
题解
因为圆锥对称,所以可以把所有点旋转到xOy平面,然后问题转化成求最小的三角形。
于是我们就可以求出上凸包,然后最小的三角形显然过凸包上的一个或两个点
过一个点的时候可以推公式:
设$A(a,b),H(0,y),C(x,0)$
那么\[\frac{b}{x-a}=\frac{y}{x}\]
\[\pi x^2\times y/3 = C\times \frac{x^3}{x-a}\]
然后求导,得
\[\frac{3x^2(x-a)-x^3}{(x-a)^2}\]
符号只与分子有关
得$x=\frac{3a}{2}$时体积最小,其他时候体积都比这个大,偏得越多越大
然后还要考虑不能和上凸包的边相交
就这样就可以了,然后头晕写了个通过截面面积判断圆锥体积……
AC代码
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cassert>
#include<algorithm>
#define REP(r,x,y) for(register int r=(x); r<(y); r++)
#define REPE(r,x,y) for(register int r=(x); r<=(y); r++)
#ifdef sahdsg
#define DBG(...) printf(__VA_ARGS__)
#else
#define DBG(...) void(0)
#endif
using namespace std; #define EPS 1e-10
int dcmp(const double &x) {
return fabs(x)<EPS?0:(x<0?-1:1);
}
inline double pf(double x) {
return x*x;
}
#define MAXN 10007
template <class T, int S>
struct array {
int n;
T arr[S];
T& operator[](int i) {return arr[i];}
};
struct dian {
double x,y;
bool operator<(const dian&r) const {
return x>r.x || (dcmp(x-r.x)==0 && y<r.y);
}
bool operator==(const dian&r) const {
return fabs(x-r.x)<EPS && fabs(y-r.y)<EPS;
}
} dots[MAXN], vec; dian operator-(const dian&a, const dian&b) {
return (dian){a.x-b.x,a.y-b.y};
} double Cross(const dian&l, const dian&r) {
return l.x*r.y-l.y*r.x;
} array<dian, MAXN> convex; int main() {
int n;
while(~scanf("%d", &n)) {
double x,y,z;
convex.n=0;
REP(i,0,n) {
scanf("%lf%lf%lf", &x, &y, &z);
dots[i].x=sqrt(pf(x)+pf(y));
dots[i].y=z;
}
sort(dots,dots+n);
n=unique(dots,dots+n)-dots;
REP(i,0,n) {
while(convex.n>=2 && dcmp(Cross(convex[convex.n-1]-convex[convex.n-2],dots[i]-convex[convex.n-2]))<=0) convex.n--;
convex[convex.n++]=dots[i];
}
double ans=2e33;
double r,h;
REP(i,0,convex.n) {
double tr,th,nans;
tr=convex[i].x*1.5; th=convex[i].y*3;
if(i>0 && dcmp(convex[i].y-convex[i-1].y)<=0) break;
if(i>0 && dcmp(Cross(convex[i]-convex[i-1],(dian){-tr,th}))<0) {
tr=Cross(convex[i],convex[i-1])/(convex[i-1].y-convex[i].y),
th=Cross(convex[i],convex[i-1])/(convex[i].x-convex[i-1].x);
}
else if(i<convex.n &&
dcmp(Cross(convex[i+1]-convex[i],(dian){-tr,th}))>0) {
tr=Cross(convex[i+1],convex[i])/(convex[i].y-convex[i+1].y),
th=Cross(convex[i+1],convex[i])/(convex[i+1].x-convex[i].x);
}
nans=tr*tr*th/2;
if(nans>EPS && nans<ans) {
ans=nans; r=tr; h=th;
}
}
printf("%.3f %.3f\n", h,r);
}
return 0;
}
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