题目:

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析:

假设我们要求跳上第3级的跳法,可以从第0级跳3级台阶到达,也可以从第1级跳2级台阶到达,还可以从第2级跳1级到达。

所以跳上第3级的跳法数等于到达第0级的跳数加上到达第1级的跳数再加上到达第2级的跳数,也就是f(3) = f(2) + f(1) + f(0)

可以推导出f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + f(1) + f(0)

我们还可以这样思考这个问题,从第0级跳到第n级需要经历n-1个台阶,因为青蛙可以跳1~n级青蛙跳上n级,青蛙跳法可以等价于台阶的选择,比如跳到3级时,青蛙先跳1级再跳两级,实际上就是青蛙从第0级先到达第1级台阶,再从第1级台阶跳到了第3级,而如果青蛙直接跳到了第3级,实际上就是没有使用台阶,所以青蛙的跳法等价于台阶的有无,跳到n级有n-1个台阶,每个台阶都存在使用或者不使用两个状态,所以最后的答案就是2^(n-1),或者是1<<(n-1)。

程序:

C++

//dp
class Solution {
public:
int jumpFloorII(int number) {
if(number == ) return ;
if(number == ) return ;
vector<int> res(number+, );
res[] = ;
res[] = ;
for(int i = ; i <= number; ++i){
for(int j = ; j < i; ++j)
res[i] += res[j];
}
return res[number];
}
};

Java

public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
return 1 << (target-1);
}
}
/*import java.util.*;
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
return (int)Math.pow(2, target-1);
}
}*/

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