【CSP-S 2019】D2T2 划分
Description
Solution
算法1 12pts
指数算法随便乱搞。
算法2 36pts
\(O(n^3)\)dp。
设\(f_{i,j}\)表示以位置\(j\)结尾,上一个决策点为\(j\)时的最小值。
转移也是显而易见的:
令 \(s_i=\sum \limits_{j=1}^{i} a_j\),即前缀和。
则
\]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll ty() {
char ch = getchar(); ll x = 0, f = 1;
while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
return x * f;
}
const int _ = 5000 + 10;
int n, type;
ll A[_], sum[_], f[_][_], ans;
inline ll _2(ll x) { return x * x; }
int main() {
n = ty(), type = ty();
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
A[i] = ty();
sum[i] = sum[i - 1] + A[i];
// cout << sum[i] << endl;
}
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
ans = f[0][0];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= i; ++j) {
if (j == 1) f[i][j] = _2(sum[i]);
else
for (int k = 1; k < j; ++k)
if (sum[i] - sum[j - 1] >= sum[j - 1] - sum[k - 1])
f[i][j] = min(f[i][j], f[j - 1][k] + _2(sum[i] - sum[j - 1]));
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = min(ans, f[n][i]);
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
算法3 64pts
\(O(n^2)\)dp。这个因为我太蒻了,所以不会写。大概思路就是
“可以固定\(j\),发现在移动\(i\)的过程中,\(k\)也在移动,满足一个单调性,然后我们维护一个\(f_{j,k}\)的最小值就可以了”
算法4 84/100pts
据说通过打表可以发现,证明链接,当最后一段在满足有解的情况下和最小时,答案最优。
因此可以设\(g_i\)表示到位置\(i\)时,在有解的情况下值最小的上一个决策点的位置,即
\]
稍微移个项就可以得到
\]
显然这是单调的,于是用一个单调队列维护即可。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int ty() {
char ch = getchar(); int x = 0, f = 1;
while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
return x * f;
}
typedef long long ll;
const int _ = 5e5 + 10;
int n, type, a[_], q[_], g[_];
ll sum[_], ans;
inline ll calc(int j) { return 2ll * sum[j] - sum[g[j]]; }
inline ll _2(const ll &x) { return x * x; }
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("divide.in", "r", stdin);
freopen("divide.out", "w", stdout);
#endif
n = ty(), type = ty();
for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = ty(), sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
int h = 1, t = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
while (h < t && calc(q[h + 1]) <= sum[i]) ++h;
g[i] = q[h];
while (h < t && calc(q[t]) >= calc(i)) --t;
q[++t] = i;
}
int now = n;
while (now) {
ans = ans + _2(sum[now] - sum[g[now]]);
now = g[now];
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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