kaldi中CD-DNN-HMM网络参数更新公式手写推导

在基于DNN-HMM的语音识别中，DNN的作用跟GMM是一样的，即它是取代GMM的，具体作用是算特征值对每个三音素状态的概率，算出来哪个最大这个特征值就对应哪个状态。只不过以前是用GMM算的，现在用DNN算了。这是典型的多分类问题，所以输出层用的激活函数是softmax，损失函数用的是cross entropy（交叉熵）。不用均方差做损失函数的原因是在分类问题上它是非凸函数，不能保证全局最优解（只有凸函数才能保证全局最优解）。Kaldi中也支持DNN-HMM，它还依赖于上下文（context dependent, CD）,所以叫CD-DNN-HMM。在kaldi的nnet1中，特征提取用filterbank,每帧40维数据，默认取当前帧前后5帧加上当前帧共11帧作为输入，所以输入层维数是440(440 = 40*11)。同时默认有4个隐藏层，每层1024个网元，激活函数是sigmoid。今天我们看看网络的各种参数是怎么得到的（手写推导）。由于真正的网络比较复杂，为了推导方便这里对其进行了简化，只有一个隐藏层，每层的网元均为3，同时只有weight没有bias。这样网络如下图：

上图中输入层3个网元为i1/i2/i3（i表示input），隐藏层3个网元为h1/h2/h3（h表示hidden），输出层3个网元为o1/o2/o3（o表示output）。隐藏层h1的输入为 (q11等表示输入层和隐藏层之间的权值)，输出为。输出层o1的输入为（w11等表示隐藏层和输出层之间的权值），输出为。其他可类似推出。损失函数用交叉熵。今天我们看看网络参数（以隐藏层和输出层之间的w11以及输入层和隐藏层之间的q11为例）在每次迭代训练后是怎么更新的。先看隐藏层和输出层之间的w11。

1，隐藏层和输出层之间的w11的更新

先分别求三个导数的值：

所以最终的w11更新公式如下图：

2，输入层和隐藏层之间的q11的更新

先分别求三个导数的值：

所以最终的q11更新公式如下图：

以上的公式推导中如有错误，烦请指出，非常感谢！