The Two Egg Problem

曾经是Google的一道经典题。

题意:有一个百层高楼,鸡蛋在\(L\)层及以下扔都不碎,在\(L\)层以上都会碎。现在某人有\(k\)个鸡蛋,问在最坏情况下,至少扔多少次(用\(m\)表示)可以确定\(L\)的值。

分析:先来考虑\(k=1\)的情况。只有1个鸡蛋,为了得到一个确定的\(L\),只能从第一层开始,逐渐尝试增加楼层高度,因此\(m=100\)时,无论\(L\)的值是多少,都可以被确定。

再来考虑\(k=\infty\)的情况。这种情况就变为了binary search的问题,先拿一个在50层扔,如果碎,则在25层扔;如果不碎,则在75层扔...即\(m=7\)。

最后来考虑\(k=2\)的情况。因为\(k=1\)只能一层一层试,所以第一个鸡蛋应该尽可能缩小搜索空间,但是如果第一个鸡蛋的楼层间隔太小(比如在2层、4层...),无疑会增加\(m\)。不妨取第一个鸡蛋在10层、20层...,共10次;假如第一个在10层没碎,在20碎了,那么第二个鸡蛋可以尝试11、12...19,共9次;故\(m=19\)。

上面方案的问题在于:如果临界楼层比较高,那么第二个鸡蛋的次数是确定的,但第一个就需要多试几次,总次数就会增加。

那么如何使得不论临界楼层在哪,\(m\)的值都不会波动呢?

很简单,只要第一个多扔一次,确定的范围(第二个要试的次数)减小,总次数就会均衡。

对于第一个鸡蛋,第一次在\(a\)层扔,如果不碎,第二次向上增加\(a-1\)层...直到最后只向上增加\(1\)层:\(a+(a-1)+...+1\geq100\),故\(a\geq13.7\)。

鸡蛋一:在14层、27层、39层、50层、60层、69层、77层、84层、90层、95层、99层、100层扔,共12次;

鸡蛋二:如果蛋一在14层碎了,蛋二要扔13次,共14次;如果蛋一在27层碎了,蛋二要扔12次,共14次...故\(m=14\)。

Super Egg Problem

对于\(k=2\),我们有了一个比较好的解决方案。那么现在有\(k\)个鸡蛋,楼高\(n\)层,问题(记作\(m(k,n)\))又该如何解决?

\(k=1\)和\(n=1\)的情况比较简单:

n\k 1 2 3 4 ...
1 1 1 1 1
2 2
3 3
...

那么如果我们递归地思考:任选一层\(h\)扔第一个鸡蛋,无非有碎和不碎2种情况:

碎:临界楼层在1~h之间,问题规模缩小为\(m(k-1,h-1)\);

不碎:临界楼层在h~n之间,问题规模缩小为\(m(k,n-h)\)。

所以:\(m_h(k,n)=1+max\{ m(k-1,h-1),m(k,n-h)\}\)。

对于\(h\),可以采用枚举的方法,计算\(m_h(k,n)\),在其中选出一个最小的值,故问题得到解决:

\[m(k,n)=min\{m_h(k,n)\},h=1,2,...n
\]

Base Case就是\(k=1\)和\(n=1\)。

时间复杂度\(O(KN^2)\),空间复杂度\(O(KN)\)。

记忆化递归:

class Solution {
public:
int superEggDrop(int K, int N) {
vector<vector<int>> memo(K + 1, vector<int>(N + 1, 0));
return helper(K, N, memo);
}
private:
int helper(int K, int N, vector<vector<int>>& memo) {
if(K == 1) {
return N;
}
if(N <= 1) {
return N;
}
if(memo[K][N]) {
return memo[K][N];
} int ans = INT_MAX;
for(int i = 1;i <= N;++i) {
ans = min(ans, 1 + max(superEggDrop(K - 1, i - 1), superEggDrop(K, N - i)));
}
memo[K][N] = ans;
return ans;
}
};

上述最直观的解法复杂度太高,无法通过Leetcode的数据。如何优化呢?

\(m(K,N)\)表示该问题的解,如果鸡蛋数\(K\)固定,随着楼层数\(N\)增加,问题的解一定是增加的。

我们又把问题分解为了2个子问题\(m(k-1,h-1)\)和\(m(k,n-h)\),\(m(k-1,h-1)\)随\(h\)单调递增,\(m(k,n-h)\)单调递减(图源):



此时\(min(max(...))\)就是求中间的折点,可以使用Binary Search,时间复杂度降为\(O(KNlgN)\):

class Solution {
public:
int superEggDrop(int K, int N) {
vector<vector<int>> memo(K + 1, vector<int>(N + 1, 0));
return helper(K, N, memo);
}
private:
int helper(int K, int N, vector<vector<int>>& memo) {
if(K == 1) {
return N;
}
if(N <= 1) {
return N;
}
if(memo[K][N]) {
return memo[K][N];
} int ans = INT_MAX;
int l = 1, r = N + 1;
while(l < r) {
int m = l + (r - l) / 2;
int broken = helper(K - 1, m - 1, memo), noBroken = helper(K, N - m, memo);
if(broken > noBroken) {
r = m;
ans = min(ans, 1 + broken);
}
else {
l = m + 1;
ans = min(ans, 1 + noBroken);
}
} memo[K][N] = ans;
return ans;
}
};

当然,此题还有\(O(KN)\)的做法,甚至还有一种数学做法可以达到\(O(KlgN)\)的时间复杂度和\(O(1)\)的空间复杂度,由于本人水平实在有限,就不再探索。

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