1月18日 LCA专项训练

A. Lorenzo Von Matterhorn

B.Minimum spanning tree for each edge

C.Misha, Grisha and Underground

D.Fools and Roads

E.City Driving

题意：给你一颗基环树（有n条边，n个点的连通图），有Q个询问，求u，v之间的距离最小是多少

思路：对于一棵基环树而言，只要去掉其环上任意一条边(a , b)，其边权为w ，剩下的边就可以构成一棵树

　　　对于 u，v 之间的最小距离 ， 有可能由去掉的边(a , b)构成 ，也有可能不需要边(a , b)

　　　不需要L的情况

　　　　　　ans = dis(u , v)

　　　需要L的情况

　　　　　　ans = min(dis(u , a) + dis(v , b) + w , dis(v , a) + dis(u , b) ,w)

　　　两种情况取min即可。

dfs序+RMQ做法（这个做法虽然有点麻烦，但是查询时O(1)的）

#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cctype>
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid + 1,r
#define P pair<int,int>
#define ull unsigned long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + ;
const ll mod = 1e9 + ;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-;
int n;
int f[maxn];
int qx, qy, qv, cnt, num, si;
struct node
{
    int y, v;
    node(int a, int b)
    {
        y = a;
        v = b;
    }
};
vector<node>G[maxn];
int dp[][maxn * ], dis[maxn], vis[maxn], pos[maxn], res[maxn];
// res 存储欧拉序列 pos 存储每个节点第一次出现的位置 

void init()
{
    qx = qy = qv = ;
    cnt = ;
    num = ;
    si = ;
    mem(dp, );
    mem(dis, );
    mem(vis, );
    mem(res, );
    mem(pos, );
    for (int i = ; i < maxn; ++i) G[i].clear();
}

int find(int x)
{
    return x == f[x] ? f[x] : f[x] = find(f[x]);
}
void bset(int x, int y)
{
    int fx = find(x), fy = find(y);
    f[fx] = fy;
}
void dfs(int u, int dist)
{
    vis[u] = ;
    dis[u] = dist;
    pos[u] = cnt;
    res[si] = u;
    dp[][cnt++] = si++;
    for (int i = ; i < G[u].size(); ++i)
    {
        int j = G[u][i].y;
        if (!vis[j])
        {
            dfs(j, dist + G[u][i].v);
            dp[][cnt++] = dp[][pos[u]];
        }
    }
}

void RMQ()
{
    for (int i = ; ( << i) <= n; ++i)
    {
        for (int j = n - ; j >= ; --j)
        {
            int k = ( << (i - ));
            dp[i][j] = dp[i - ][j];
            if (k + j < n)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - ][j + k]);
            }
        }
    }
}

int cal(int i, int j)
{
    if (i < j) swap(i, j);
    int k = ;
    while (( << k) <= (i - j + ))
        ++k;
    --k;
    k = min(dp[k][j], dp[k][i - ( << k) + ]);
    return res[k];
}

int  Dis(int u, int v)
{
    int k = cal(pos[u], pos[v]);
    return dis[u] + dis[v] - dis[k] * ;
}

int main()
{
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        if (n == ) break;
        init();
        for (int i = ; i <= n; ++i) f[i] = i;
        for (int i = ; i <= n; ++i)
        {
            int x, y, v;
            scanf("%d %d %d", &x, &y, &v);
            x++, y++;
            int fx = find(x), fy = find(y);
            if (fx == fy)
            {
                qx = x, qy = y, qv = v;
                continue;
            }
            bset(x, y);
            G[x].push_back(node(y, v));
            G[y].push_back(node(x, v));
        }
        for (int i = ; i <= n; ++i)
        {
            if (!vis[i])
                dfs(i, );
        }
        n = n *  - ;
        RMQ();
        int q;
        scanf("%d", &q);
        while (q--)
        {
            int x, y;
            scanf("%d %d", &x, &y);
            x++, y++;
            int ans = Dis(x, y);
            ans = min(ans, Dis(x, qx) + Dis(y, qy) + qv);
            ans = min(ans, Dis(x, qy) + Dis(y, qx) + qv);
            printf("%d\n", ans);
        }

    }
    return ;
}

/*

7
0 1 2
0 2 3
1 3 2
2 3 8
2 4 3
3 5 1
1 6 7
3
4 5
0 6
1 2
0

*/

F.Tree chain problem

题意：给你一颗由n个点构成的树，在给你m条链，让你选择一些不相交的链，使得权值最大

思路：用dp[i]记录以i为根节点的子树的权值最大值 ， sum[i] 表示点 i 的所有儿子的dp值的和

　　　考虑到动态规划的无后效性，因此给我们的链我们尽在lca(u , v)处考虑拿或不拿(u , v  为其中一条链的端点)

　　　这一点的状态dp[i] ，仅有两种状况

　　　　　　不取 lca(u , v) = i 的这条链

　　　　　　　　dp[i] = sum[i]

　　　　　　取 lca(u , v) = i 的这条链

　　　　　　　　dp[i] = ( sum[i] + ∑  (sum[vi] - dp[vi]) + w )  vi 为链上的每一个节点

　　　　　　因为需要取 lca(u , v) = i 的这条链 因此 vi 点不能取其他的链， 因为题目要求链之间不相交

　　　　为了快速计算  ∑  (sum[vi] - dp[vi]) ，用 dfs序 和  树状数组 来维护 ∑  (sum[vi] - dp[vi])  的前缀和

　　　　当我们求 ∑  (sum[vi] - dp[vi]) 只需要在 i 节点加入 树状数组前 查询 区间[1 , u]  + 区间[1 , v] 的和

#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn = ;
const int maxb = ;

struct Node {
    int u, v, w;
    Node(int u, int v, int w) :u(u), v(v), w(w) {}
};

int n, m;
vector<Node> que[maxn];
vector<int> G[maxn];
int lca[maxn][maxb], in[maxn], out[maxn], dep[maxn], dfs_cnt;
int sumv[maxn];// 树状数组
int dp[maxn], sum[maxn];

//计算dfs序，in，out;预处理每个顶点的祖先lca[i][j],表示i上面第2^j个祖先，lca[i][0]表示父亲
void dfs(int u, int fa, int d) {
    in[u] = ++dfs_cnt; // 获取每个点进入的时间
    lca[u][] = fa; dep[u] = d;
    for (int j = ; j < maxb; j++) {
        int f = lca[u][j - ];
        lca[u][j] = lca[f][j - ];
    }
    for (int i = ; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u, d + );
    }
    out[u] = ++dfs_cnt; // 获取每个点出去的时间
}

// 倍增法在线求lca ，o(n*logn)预处理+o(logn)询问
int Lca(int u, int v) {
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    //二进制倍增法，u,v提到相同高度
    for (int i = maxb - ; i >= ; i--) {
        if (dep[lca[u][i]] >= dep[v]) u = lca[u][i];
    }
    //当lca为u或者为v的时候
    if (u == v) return u;
    //lca不是u也不是v的情况
    //一起往上提
    for (int i = maxb - ; i >= ; i--) {
        if (lca[u][i] != lca[v][i]) {
            u = lca[u][i];
            v = lca[v][i];
        }
    }
    return lca[u][];
}

//因为需要求出区间[in[u] , out[u]]上的(sum[i] - dp[i])的和 , 用树状数组维护

int get_sum(int x) {
    int ret = ;
    while (x > ) {
        ret += sumv[x];
        x -= x & (-x);
    }
    return ret;
}

void add(int x, int v) {
    while (x < maxn) {
        sumv[x] += v;
        x += x & (-x);
    }
}

//树形dp(用到dfs序和树状数组来快速计算链)

void solve(int u, int fa) {
    for (int i = ; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (v == fa) continue;
        solve(v, u);
        sum[u] += dp[v];
    }
    dp[u] = sum[u]; // 先将dp[u]处理为不选择以u为lca的链
    for (int i = ; i < que[u].size(); i++) {
        Node nd = que[u][i];
        //get_sum(in[nd.u])处理的是lca(u,v)到u点这条路径的所有顶点
        //get_sum(in[nd.v])处理的是lca(u,v)到v点这条路径的所有顶点
        dp[u] = max(dp[u], sum[u] + get_sum(in[nd.u]) + get_sum(in[nd.v]) + nd.w);
    }
    add(in[u], sum[u] - dp[u]);
    add(out[u], dp[u] - sum[u]);
}

void init() {
    dfs_cnt = ;
    for (int i = ; i <= n; i++) G[i].clear();
    for (int i = ; i <= n; i++) que[i].clear();
    memset(lca, , sizeof(lca));
    memset(sumv, , sizeof(sumv));
    memset(sum, , sizeof(sum));
    memset(dp, , sizeof(dp));
}

int main() {
    int tc;
    scanf("%d", &tc);
    while (tc--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        init();
        for (int i = ; i < n; i++) {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            G[u].push_back(v);
            G[v].push_back(u);
        }
        dfs(, , );
        while (m--) {
            int u, v, w;
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
            //每条链在Lca的位置上处理，这样符合dp的无后效性
            que[Lca(u, v)].push_back(Node(u, v, w));
        }
        solve(, );
        printf("%d\n", dp[]);
    }
    for (int i = ; i <= n; ++i)
    {
        printf("%d ", dp[i]);
    }
    printf("\n");
    for (int i = ; i <= n; ++i)
    {
        printf("%d ", sum[i]);
    }
    printf("\n");
    return ;
}