青岛oj集训1

2025/3/4

内容：有向无环图（DAG）

优点：DAG有很多良好性质

1. 拓扑排序

用处：可以根据拓扑序进行dp

这次计算所用的所有边的权值都是有计算过的

一张DAG图肯定有拓扑序（bfs序，dfs序都是拓扑序）

内向树，外向树

因为所有边都是所有从前面指向后面，所以如果一张图可以进行拓扑排序

那么这张图一定是DAG

如果有一张DAG，那么可以对其进行拓扑算法

拓扑算法：求拓扑序

对于一个点u，我们可以求出他的入度d

求入度的办法：枚举每条边u->v，d[v]++；

对于所有的d,必然至少有一个d[n]=0

那么这个（些）点n就可以放在拓扑序的前面.

方法一：

比较简单且愚蠢的方法O（nm）n：点数，m：边数

（就是我用的方法）

一次次遍历整张图

找到入度为0的点，然后把这个点记录下来，并且删掉

一遍遍就能所有点都记录下来

方法二：

首先遍历所有点，找到入度0的点，把它删掉，假设这些点构成一个集合（队列）S

然后从S中找一个点，放在拓扑序的开头

再把这个点“删掉”

其实没必要完全删干净，只需要把这个点所有指向的点入度都--就行了

如果在所有d[v]--的点中，--到0了，那么就把v加到S中

那么这个算法的复杂度：

算入度：O（m）

首次遍历：O（n）

删边：每条边只会被删一边：O（m）

最后时间复杂度是O（m+n）

模板题：B3644