「Note」DP 方向 - DP 优化

1. 单调队列优化 DP

1.1. 简介

当一个选手比你小还比你强，你就打不过他了。这是对单调队列简单形象的概括。

单调队列在转移的过程中不断排除不可能成为决策点的元素，使每次转移寻找决策点的时间复杂度降为 \(O(1)\)。一般地，可被单调队列优化的转移式可被写为如下形式：

\[F_i=\max_{l_i\le j<i}\{F_j+A_j+B_i\}
\]

\[（F_i=\min_{l_i\le j<i}\{F_j+A_j+B_i\}）
\]

其中需要满足 \(l_i\) 单调不降，\(A_i\) 是只与 \(i\) 有关的变量，\(B_j\) 是只与 \(j\) 有关的变量。

不难发现单调队列要维护的是 \(F_i+A_i\)，每次 \(j1\) 入队时，若满足 \(F_{j1}+A_{j1}>F_{j0}+A_{j0}\) 则将 \(j0\) 弹出，直到不满足条件或者队列为空。

此时取队头元素，它一定满足在范围内最优，将其作为决策点即可。特殊地，有时需要特判队列为空的情况。

1.2. 常见技巧

大部分情况下，转移方程并不显著，因为在其中的贡献往往与 \(i,j\) 都有关，此时尝试将贡献转化为 \(A_j+B_i\) 的形式，然后在单调队列中维护 \(F_i+A_i\) 即可。

1.3. 例题

\(\color{limegreen}{P1776}\)（单调队列优化多重背包）

\(v_i\)	\(w_i\)	\(c_i\)	\(F_{i,j}\)
物品 \(i\) 的体积	物品 \(i\) 的价值	物品 \(i\) 的个数	前 \(i\) 个物品放入总体积为 \(j\) 的物品的最大价值

显著地，有以下转移方程：

\[F_{i,j}=\max_{0\le k\le c_i\ \land\ k\times v_i\le j}\{F_{i-1,j-k\times v_i}+k\times w_i\}
\]

设 \(j'=j-k\times v_i\)，在保证 \(i\) 不变的情况下，分别考虑每个 \(j'\) 对 \(j\) 的贡献，此时有 \(k=\frac{j-j'}{v_i}\)。此时 \(j,j'\) 在 \(\bmod v_i\) 的意义下同余，设 \(j=t\times v_i+r\) 其中 \(0\le r<v_i\)，考虑将贡献拆分有 \(j'=j-k\times v_i,k=\left\lfloor\frac{j}{v_i}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{j'}{v_i}\right\rfloor=t-\left\lfloor\frac{j'}{v_i}\right\rfloor\)，将原方程改写：

\[F_{i,j}=\max_{0\le k\le \min\{c_i,t\}}\{F_{i-1,j-k\times v_i}-\left\lfloor\frac{j'}{v_i}\right\rfloor\times w_i\}+t\times w_i
\]

不难想到在枚举 \(r\) 的基础上，枚举 \(j\) 进行单调队列优化。

$\text{Code}$：

#define LL long long
#define UN unsigned
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//--------------------//
const int N=1e5+1;

int n,V;
int v[N],w[N],c[N];

int ans,f[N];

int head,tail;
int q[N][2];
//--------------------//
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&V);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int r=0;r<v[i];r++)
        {
            head=tail=1;
            q[1][0]=r,q[1][1]=f[r];
            for(int tem,t,j=r+v[i];j<=V;j+=v[i])
            {
                tem=f[j]-j/v[i]*w[i],t=j/v[i];
                while(head<=tail&&q[head][0]<j-c[i]*v[i])
                    head++;
                f[j]=max(f[j],q[head][1]+t*w[i]);
                while(head<=tail&&q[tail][1]<tem)
                    tail--;
                q[++tail][0]=j,q[tail][1]=tem;
            }
        }
    for(int i=1;i<=V;i++)
        ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

\(\color{royalblue}{P3089}\)

\(x_i\)	\(p_i\)	\(F_{i,j}\)	\(now_i\)
目标点 \(i\) 的坐标	目标点 \(i\) 的分数	跳至目标点 \(i\)，上一个目标点是 \(j\) ，所能获得的最大分数	当前单调队列还未加入的最近位置

先考虑单方向的做法，显著地，按照 \(x_i\) 排序后有以下转移方程：

\[F_{i,j}=\max_{x_i-x_j\ge x_j-x_k}\{F_{j,k}\}+p_i
\]

我们发现当 \(i\) 固定时并不能直接用单调队列优化，因为维护的 \(\max\) 中存在两个不固定值 \(j,k\)。考虑固定 \(j\)，当 \(i\) 上升时，\(k\) 的范围单调不减，此时可以用单调队列维护。

对于每一个 \(j\) 维护一个单调队列，用 \(now_j\) 记录还未进队的最近位置，每次枚举 \(i\) 时，将符合条件的 \(k\) 入队，并更新 \(now_j\)。

至于向另一方向跳的情况，将数轴左右翻转再做一遍 DP 即可。

\(\color{royalblue}{P4544}\)

\(ka\)	\(e\)	\(x_i\)	\(c_i\)	\(v_i\)	\(f_{i,j}\)
需要饲料总数	中点坐标	商店 \(i\) 坐标	商店 \(i\) 库存	商店 \(i\) 价格	走到商店 \(i\) 经过交易后得到 \(j\) 个饲料的最小消费

先按照 \(x_i\) 排序，显著地，转移方程：

\[F_{i,j}=\min_{j-c_i\le k<j}\{f_{i-1,k}+(x_i-x_{i-1})\times k^2+(j-k)\times v_i\}
\]

将其转化：

\[F_{i,j}=\min_{j-c_i\le k<j}\{f_{i-1,k}+(x_i-x_{i-1})\times k^2+k\times v_i\}+j\times v_i
\]

显著的单调队列。其中需要注意的是初值的设置以及转移的始末位置。

x. 前置知识 决策单调性

x.1. 简介

决策单调性是一个优秀的性质，对于具有决策单调性的动态规划可以采用很多方法进行优化。

通常地，决策单调性体现在 1D 维度上。当 \(j<j'<i<i'\) 时，若 \(F_i\) 从 \(F_{j'}\) 转移过来，那么 \(F_i'\) 不可能从 \(F_j\) 转移过来，只可能从 \(F_j'\) 或之后的状态转移。这种性质可称之为决策单调性。

x.2. 四边形不等式

四边形不等式如下，在 \(a<b<c<d\) 的情况下 \(w(a,d)+w(b,c)>w(a,c)+w(b,d)\)。

设 \(F_i\) 由 \(F_j+w(i,j)\) 转移来，若满足四边形不等式则称其具有决策单调性。

证明略，待施工。

2. 斜率优化

2.1. 简介

当一个最优化 DP 的转移方程形如：

\[F_i=\min\{F_j+A_i+B_j+a_i\times b_j\}
\]

\[(F_i=\max\{F_j+A_i+B_j+a_i\times b_j\})
\]

即其中有一些只关于 \(i,j\) 其中一个的项和一个关于 \(i,j\) 两个变量的项，可以考虑用斜率优化来解决。

先对原式进行化简。设 \(F_i\) 由 \(F_j\) 转移过来，有 \(F_i=F_j+A_i+B_j+a_i\times b_j\)，移项得:

\[F_j+B_j=-a_i\times b_j+(F_i - A_i)
\]

设 \(y=F_j+B_j,x=b_j,k=a_i,b=A_i-F_i\)，当 \(i\) 固定时，我们得到了一个 \(k\) 固定的一次函数，使其经过不同的 \((x,y)\)（与 \(j\) 有关），可以得到不同的截距 \(b\)（与 \(F_i\) 有关），其中取截距最大或最小，可以得到 \(F_i\) 的最大或最小值，因题而异。

具体地，我们维护一个凸包，取一次函数与切点为决策点。

2.2. 常见技巧