【8*】Slope Trick 学习笔记

前言

从 一些快速笔记 中分离出来的，因为这一知识点写的内容太多了，可以拿出来专门开一篇学习笔记。

Slope Trick 不是斜率优化！Slope Trick 不是斜率优化！Slope Trick 不是斜率优化！

此类知识点大纲中并未涉及，所以【8】是我自己的估计，后带星号表示估计，仅供参考。

Slope Trick

Slope Trick 是一种优化 DP 的方法，核心思想是通过只存储DP转移的一些关键信息，从而利用数据结构高效维护转移。

Slope Trick 通常用于二维或高维 DP，把其中一维看作函数的自变量，其他维度都看作函数，转移就考虑两个函数之间的变化。一般使用 Slope Trick 优化的 DP 都满足如下性质：

\(1\)：是连续函数。

\(2\)：是分段一次函数或凸/凹函数，且斜率一般为整数。

在 Slope Trick 中我们一般只记录初始的斜率和斜率变化(一般为 \(\pm1\))的位置(记作变化点)，放到数据结构中维护，如果一个位置的斜率变化多次则记录多次。

鉴于许多极为优秀的性质，Slope Trick 中有许多函数操作可以快速维护。这些操作快速维护的核心在于 Slope Trick 函数中会有一段水平的区间，这段区间往往是最大值或最小值。我们通常用两个堆分别维护这段水平区间左（包括水平段左端点）右（包括水平段右端点）的变化点。

\(1\)：相加。直接把初始斜率相加，并合并变化位置集合。

\(2\)：取前缀/后缀 max/min。以前缀 min 为例，把上升的位置，即水平的区间后面的变化点直接扔掉。

答案统计的时候有两种方法，一种是还原图像，另一种是记录决策点。

例题

例题 \(1\)：

CF713C Sonya and Problem Wihtout a Legend

先把 \(a_i\) 减 \(i\) 转化为非严格递增。考虑写出朴素的 DP 式子。记 \(f_{i,j}\) 表示 \(a_i=j\) 时的最小花费，转移比较显然。

\[f_{i,j}=\min_{k=1}^jf_{i-1,k}+\mid a_{i}-j\mid
\]

记 \(g_{j}\) 表示 \(\min_{k=1}^jf_{i-1,k}\)，注意到这是一个凸函数，而 \(\mid a_{i}-j\mid\) 也是一个凸函数，故 \(f_{i,j}\) 也为凸函数。且由于每次横坐标变化为 \(1\)，斜率是整数，符合 Slope Trick 的优化条件。考虑把改写后的式子写出来。

\[f_{i,j}=g_j+\mid a_{i}-j\mid
\]

于是转移就转化为了维护两个凸函数相加且取前缀最小值。我们不考虑初始斜率，加入 \(\mid a_{i}-j\mid\) 等价于加入两个变化点 \(\{a_{i},a_{i}\}\)。我们按照 \(a_{i}\) 和已有的最小点 \(h\) 的位置分类讨论。

我们用一个堆维护 \(g_j\) 的转移点。\(h\) 即为堆顶的横坐标。

\(1\)：\(a_i\ge h\)，首先初始斜率加 \(1\)，加入的第一个 \(a_i\) 把 \(a_i\) 处的斜率变成了 \(0\)，加入的第二个 \(a_i\) 取前缀最小值的时候删除了，所以只需要加入一个 \(a_i\)。

\(2\)：\(a_i\lt h\)，首先初始斜率加 \(1\)，加入了两个 \(a_i\)，\(h\) 位置的斜率变化量为 \(1\)，在求前缀最小值的时候消掉了，因此我们先加入一个 \(a_i\)，弹出 \(h\) 后再加入一个 \(a_i\)。此时新图象水平段向上平移了 \(h-a_i\) 个单位长度，注意到最后到答案就是水平段的纵坐标，把 \(h-a_i\) 累加到答案里即可。

注意到每次的决策点就是最小值的点，直接累加转移即可。初始斜率好像不需要记录。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a[4000],ans=0;
priority_queue<long long>q;
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    {
	    	scanf("%lld",&a[i]);
			a[i]-=i,q.push(a[i]);
			long long h=q.top();
	    	if(a[i]<h)ans+=h-a[i],q.push(a[i]),q.pop();
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

例题 \(2\)：

AT_abc217_h [ABC217H] Snuketoon

设 \(f_{i,j}\) 表示时间 \(i\) 结束后在位置 \(j\) 的最小伤害，其余状态均不可优化。考虑先写出转移式子。

\[f_{i,j}=\min\{f_{i-1,j-1},f_{i-1,j},f_{i-1,j+1}\}+\text{cost}(i,j)
\]

把 \(f_{i,j}\) 看成关于 \(j\) 的函数 \(f_i(j)\)，不难证明函数 \(f_i(j)\) 是凸的。考虑归纳法，\(\text{cost}(i,j)\) 是凸的，显然 \(f_1(j)\) 是凸的。假设 \(f_n(j)\) 是凸的，则取 \(\min\) 后 \(f_n(j)\) 还是凸的，再加上一个凸函数 \(\text{cost}(i,j)\)，于是 \(f_{n+1}(j)\) 为凸函数。所以 \(f_i(j)\) 是凸的，且不难发现斜率为整数，所以可以使用 Slope Trick。

考虑前一步的取 \(\min\)，不难发现其实就是最小值想左右扩展，水平的那一段左边的往左平移一位，水平的那一段右边的往右平移一位，对于左右两个堆维护一个整体偏移量即可。

考虑 \(D_i=0\)，\(\text{cost}(i,j)\) 为一个关于 \(j\) 的函数，此函数初始斜率为 \(-1\)，存在一个变化点 \(\{X_i\}\) 使斜率为 \(0\)。考虑添加变化点，如果这个变化点在水平段以及水平段左边，那么直接插入左堆，水平段纵坐标不变化。否则由于斜率加了 \(1\)，画图发现右堆水平段右端点处变成了左堆水平段左端点，弹出来右堆堆顶后插入左堆，并把新变化点插入右堆，顺便记录水平段纵坐标变化。

\(D_i=1\) 也是同理。注意偏移量处理容易弄错。

注意初始状态 \(f_0(j)\) 只有 \(f_0(0)=0\)，其余均为正无穷。我们可以把初始纵坐标设为 \(0\)，然后插入足够多个 \(\{0\}\) 变化点，就可以实现这个效果。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,t,d,x,lst=0,d1=0,d2=0,ans=0;
priority_queue<long long>l,r;
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)l.push(0),r.push(0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    {
	    	scanf("%lld%lld%lld",&t,&d,&x);
	    	d1-=(t-lst),d2+=(t-lst),lst=t;
	    	if(d==0)
	    	   {
	    	   	if(x<=-r.top()+d2)l.push(x-d1);
	    	   	else ans+=(x-(-r.top()+d2)),l.push(-r.top()+d2-d1),r.pop(),r.push(-(x-d2));
			   }
			else if(d==1)
			   {
			   	if(x>=l.top()+d1)r.push(-(x-d2));
	    	   	else ans+=(l.top()+d1-x),r.push(-(l.top()+d1-d2)),l.pop(),l.push(x-d1);
			   }
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

例题 \(3\)：

P3642 [APIO2016] 烟火表演

记 \(f_{x,i}\) 表示使点 \(x\) 子树内与所有叶子节点距离均为 \(i\) 的最小代价。我们不难列出如下方程。

\[f_{x,i}=\sum_{v\in\text{son}(x)}\min_{j\le i}f_{v,j}+\mid e_d+j-i\mid
\]

\(f_{x,i}\) 是一个关于 \(i\) 的凸函数，因为一定存在一个最佳长度使原 DP 值最小。无论偏小还是偏大，由于绝对值的影响，都只会增大而不会减小。于是我们定性地分析出了\(f_{x,i}\) 的性质。

考虑令 \(g_{v,i}=\min_{j\le i}f_{v,j}+\mid e_d+j-i\mid\)，我们考虑先求出 \(g_{v,i}\)，然后通过合并求出 \(f_{x,i}\)。对于 \(g_{v,i}\)，设 \(f_{v,j}\) 的左边最小值为 \(l\)，右边最小值为 \(r\)，我们进行分类讨论。

\(1\)：若 \(i\lt l\)，则 \(f_{v,j}\) 至少以 \(1\) 的斜率减小，而 \(\mid e_d+j-i\mid\) 至多以 \(1\) 的斜率增加，因此整个函数一定单调不增，取 \(j=i\) 一定最小。此时 \(g_{v,i}=f_{v,i}+e_d\)。

\(2\)：若 \(l\le i\lt l+e_d\)，\(\mid e_d+j-i\mid\) 的零点至多在 \(l\) 处，同上得取 \(l\) 是 \(l\) 前一段的最小值。注意到斜率已经为 \(0\)，后面一定不优。此时 \(g_{v,i}=f_{v,l}+e_d+l-i\)。

\(3\)：若 \(l+e_d\le i\lt r+e_d\)，\(\mid e_d+j-i\mid\) 的零点 \(i-e_d\) 一定在区间 \([l,r)\)，\(f_{v,j}\) 取到最小值，两个函数都取到了最小值。此时 \(g_{v,i}=f_{v,i-e_d}\)。注意到此时 \(i-e_d\) 一定在斜率为 \(0\) 的那一段上，所以也有 \(g_{v,i}=f_{v,l}\)。

\(4\)：若 \(i\gt r+e_d\)，则函数 \(\mid e_d+j-i\mid\) 的零点一定大于 \(r\)，且相加后在 \(r\) 处斜率取到 \(0\)，于是取 \(j=r\) 值最小。此时 \(g_{v,i}=f_{v,r}+i-r-e_d\)。注意到 \(f_{v,l}=f_{v,r}\)，所以 \(g_{v,i}=f_{v,l}+i-r-e_d\)。

注意到变化后还是一个连续的函数，在交界处都完美汇合，于是考虑观察 \(g_{v,i}\) 和 \(f_{v,j}\) 的变化。注意到第一种情况只是增加了初始值，没有改变斜率，不管它。第二、三、四种情况都只用到了 \(f_{v,l}\)，因此我们可以把 \(l\) 以及之后的点都扔掉，也就是以这个点开头斜率 \(\ge0\) 的点都扔掉。同时第二、三、四种情况斜率分别为 \(-1,0,1\)，我们加入 \(\{l+e_d,r+e_d\}\)，就完成了变换。

在这个题中，我们有办法偷懒不维护每个点的斜率。注意到点 \(x\) 每有一个，\(r\) 以及其右边的点数量就会加 \(1\)。因此，若儿子数量为 \(k\)，我们弹出前 \(k-1\) 大的决策点就找到了 \(l,r\)，也找到了以这个点开头斜率 \(\ge0\) 的点。

合并两个函数集合，直接左偏树就行了。初始状态直接 \(\{0\}\) 即可，因为是和在下一层统计等效的，能省去一些特判。

最后统计答案可以通过 \(f_{1,0}=\sum e_d\) 还原函数得到。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,x,y,rt[400000],v[4000000],lc[4000000],rc[4000000],dist[4000000],cnt=0,ans=0;
vector<long long>s[400000],w[400000];
long long merge(long long x,long long y)
{
	if(!x||!y)return x+y;
    if(v[x]<v[y])swap(x,y);
    rc[x]=merge(rc[x],y);
    if(dist[rc[x]]>dist[lc[x]])swap(lc[x],rc[x]);
    dist[x]=dist[rc[x]]+1;
    return x;
}

void del(long long x)
{
	long long p=rt[x];
	rt[x]=merge(lc[rt[x]],rc[rt[x]]);
	lc[p]=rc[p]=dist[p]=0;
}

void insert(long long x,long long k)
{
	v[++cnt]=k;
	rt[x]=merge(rt[x],cnt);
}

void dfs(long long x)
{
	if(s[x].size()==0)insert(x,0);
	for(int i=0;i<(int)s[x].size();i++)
	    {
	    	dfs(s[x][i]);
	    	for(int j=0;j<(int)s[s[x][i]].size()-1;j++)del(s[x][i]);
	    	long long l=0,r=v[rt[s[x][i]]];
	    	del(s[x][i]),l=v[rt[s[x][i]]],del(s[x][i]),insert(s[x][i],l+w[x][i]),insert(s[x][i],r+w[x][i]);
	    	rt[x]=merge(rt[x],rt[s[x][i]]);
		}
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	dist[0]=-1,n+=m;
	for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&x,&y),s[x].push_back(i),w[x].push_back(y),ans+=y;
	dfs(1);
	for(int j=0;j<(int)s[1].size();j++)del(1);
	while(rt[1])ans-=v[rt[1]],del(1);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

后记

学习资料1 学习资料2 学习资料3

感觉 Slope Trick 还是要多画图，瞪着想一上午不如随手画一下图。还是缺乏想象力啊。

天上数日幻作尘世百年 一瞬清风擦面

何故撩拨我心弦 凌霄宝殿怎及

阑珊处烟火点点