Luogu P7250 BalticOI 山峰 题解 [ 蓝 ] [ 模拟 ] [ 并查集 ] [ BFS ]

Luogu P7250 BalticOI 山峰。

一道大模拟，很暴力，也很难写。建议紫或蓝，标签为模拟、广度优先搜索、并查集。

思路

首先观察到答案取决于路线上的最低点，所以我们可以把所有点的高度丢进一个桶里，从大到小枚举，尝试更新答案。这应该是个挺经典的 trick 了。

感性理解可以看作所有山都先浸在水中，然后水面逐步下降的过程。

所以我们先 BFS 一遍，找出所有是山峰的极大连通块，在里面随便找一个点标记一下。

然后接下来就是从大到小往一开始的空图中加点，每次加点的时候找到旁边八连通的点，如果已经加入图中，就连一条边，也就是把他们合并到一个连通块里。这个可以用并查集实现。

那么某个山峰的答案怎么统计？考虑把某个连通块的最高的山峰存进一个 vector 中，并且在合并的时候，做一个类似启发式合并的一个东西，把最高山峰的高度低的连通块的答案记录一下，然后将他们全部删除。如果两个连通块最高的山峰高度相同，就先不记录答案，把其中一个 vector 的山峰加到另一个 vector 里就可以了。

注意到这题有点卡空间，开 \(10^6\) 的数组还会导致消耗多余的空间，所以我们用 unordered_map 存一下就可以把空间卡过去了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pi;
typedef pair<short,short> ps;
int n,m,nh;
unordered_map<int,int>h[2005],mh[2005],ans[2005];
vector<ps>d[1000010];
vector<pi>tot;
vector<ps>mg[2005][2005];
ps f[2005][2005];
bitset<2005>vis[2005],istop[2005];
int gox[]={0,0,1,1,1,-1,-1,-1};
int goy[]={1,-1,1,0,-1,1,0,-1};
void init()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			f[i][j]={i,j};
			mh[i][j]=0;
		}
	}
}
pi findf(pi x)
{
	pi fa=f[x.fi][x.se];
	if(fa.fi!=x.fi||fa.se!=x.se)f[x.fi][x.se]=findf(fa);
	return f[x.fi][x.se];
}
void combine(ps x,ps y)
{
	pi fx=findf(x),fy=findf(y);
	if(fx!=fy)
	{
		int ls=mh[fx.fi][fx.se],mr=mh[fy.fi][fy.se];
		if(ls>mr)
		{
			swap(ls,mr);
			swap(fx,fy);
		}
		if(ls<mr)
		{
			for(auto tmp:mg[fx.fi][fx.se])
			{
				ans[tmp.fi][tmp.se]=nh;
			}
		}
		else
		{
			for(auto tmp:mg[fx.fi][fx.se])
			{
				mg[fy.fi][fy.se].push_back(tmp);
			}
		}
		mg[fx.fi][fx.se].clear();
		mg[fx.fi][fx.se].shrink_to_fit();
		mh[fx.fi][fx.se]=mh[fy.fi][fy.se];
		f[fx.fi][fx.se]=fy;
	}
}
bool legal(int x,int y)
{
	return (x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m);
}
void bfs(int sx,int sy)
{
	bool flag=1;
	queue<pi>q;
	q.push({sx,sy});
	vis[sx][sy]=1;
	while(!q.empty())
	{
		pi u=q.front();
		q.pop();
		int x=u.fi,y=u.se;
		for(int i=0;i<8;i++)
		{
			int tx=x+gox[i],ty=y+goy[i];
			if(legal(tx,ty))
			{
				if(h[tx][ty]>h[sx][sy])flag=0;
				if(vis[tx][ty]==0&&h[tx][ty]==h[sx][sy])
				{
					vis[tx][ty]=1;
					q.push({tx,ty});
				}
			}
		}
	}
	if(flag)
	{
		istop[sx][sy]=1;
		mg[sx][sy].push_back({sx,sy});
		mh[sx][sy]=h[sx][sy];
	}
}
void gettop()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(vis[i][j]==0)
			{
				bfs(i,j);
			}
		}
	}
}
bool cmp(pi x,pi y)
{
	return x>y;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>h[i][j];
			d[h[i][j]].push_back({i,j});
		}
	}
	init();
	gettop();
	nh=1000001;
	while(nh>=1)
	{
		for(auto tmp:d[nh])
		{
			int x=tmp.fi,y=tmp.se;
			for(int i=0;i<8;i++)
			{
				int tx=x+gox[i],ty=y+goy[i];
				if(legal(tx,ty))
				{
					if(h[tx][ty]>=nh)
					{
						combine({x,y},{tx,ty});
					}
				}
			}
		}
		nh--;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(istop[i][j]==1)
			{
				tot.push_back({h[i][j],ans[i][j]});
			}
		}
	}
	cout<<tot.size()<<endl;
	sort(tot.begin(),tot.end(),cmp);
	for(auto tmp:tot)
	{
		cout<<tmp.fi<<' '<<tmp.se<<endl;
	}
	return 0;
}

后记

写完突然发现我们不用知道某个连通块里最高的山峰到底是哪个，所以可以不用启发式合并，只要记录最高山峰的个数就好了。