bzoj 4591 超能粒子炮·改 - Lucas
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给定$n, k$,求$\sum_{i = 0} ^{k}C_{n}^{i}$模2333的余数。
显然Lucas。
$\sum_{i = 0} ^{k}C_{n}^{i}\\ =\sum_{i = 0} ^ {k}C_{n \% p}^{i\% p}C_{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}^{\left \lfloor \frac{i}{p} \right \rfloor}\\ =\left (\sum_{i = 0}^{p}C_{n \% p}^{i\% p} \right )\left ( \sum_{i = 0}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor - 1} C_{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor} ^ {\left \lfloor \frac{i}{p} \right \rfloor} \right ) + C_{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor}\left ( \sum_{i = 0}^{k \% p}C_{n \% p}^{i} \right )$
考虑中间的一步可以进行递归计算。又因为$p = 2333$,所以最后一个前缀和可以预处理。
会出现一个较大的组合数,可以直接用Lucas算。
其实它可先用Lucas预处理,这样可以少个log。
Code
/**
* bzoj
* Problem#4591
* Accepted
* Time: 4140ms
* Memory: 44008k
*/
#include <bits/stdc++.h>
#ifndef WIN32
#define Auto "%lld"
#else
#define Auto "%I64d"
#endif
using namespace std;
typedef bool boolean;
#define ll long long const int p = ; ll n, k; int pow2[p + ];
int C[p + ][p + ];
int sc[p + ][p + ]; inline void prepare() {
pow2[] = ;
for (int i = ; i < p; i++)
pow2[i] = (pow2[i - ] << ) % p; C[][] = ;
for (int i = ; i < p; i++) {
C[i][] = C[i][i] = ;
for (int j = ; j < i; j++)
C[i][j] = (C[i - ][j - ] + C[i - ][j]) % p;
} for (int i = ; i < p; i++) {
sc[i][] = ;
for (int j = ; j < p; j++)
sc[i][j] = (sc[i][j - ] + C[i][j]) % p;
}
} inline void init() {
scanf(Auto""Auto, &n, &k);
} int Lucas(ll n, ll k) {
if (!n && !k) return ;
return Lucas(n / p, k / p) * C[n % p][k % p] % p;
} int S(ll n, ll k) {
if (k < ) return ;
return (pow2[n % p] * S(n / p, k / p - ) + Lucas(n / p, k / p) * sc[n % p][k % p]) % p;
} inline void solve() {
printf("%d\n", S(n, k));
} int T;
int main() {
prepare();
scanf("%d", &T);
while (T--) {
init();
solve();
}
return ;
}
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