BZOJ3527 [Zjoi2014]力【fft】

题目

给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

令Ei=Fi/qi，求Ei.

输入格式

第一行一个整数n。

接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。

输出格式

n行，第i行输出Ei。与标准答案误差不超过1e-2即可。

输入样例

4006373.885184

15375036.435759

1717456.469144

8514941.004912

1410681.345880

输出样例

-16838672.693

3439.793

7509018.566

4595686.886

10903040.872

题解

卷积什么的感觉好优美~~

卷积

先普及一下离散卷积的定义【瞎编的】：

对于两个序列$x(n)$和$y(n)$

其卷积$(x*y)(n) = \sum_{-\infty}^{\infty}x(k)y(n - k)$

即当一个序列所有i位置上的值c(i)等于所有位置之和为i的x(k)*y(i - k)乘积的和时，可以看做c()为x()和y()的卷积

就好比多项式a(n) b(n)相乘，对于次数i的系数$c(i)=\sum a(k)*b(i - k)$

而求离散卷积可以使用离散快速傅里叶$O(nlogn)$高效求出

本题##

观察式子

$Ei = \sum_{j<i}\frac{qj}{(i-j)^2} - \sum_{j>i}\frac{qj}{(i-j)^2}$

我们将两个求和分开来求

我们令$b(i) = \frac{1}{i^2}$，特别的，$b(0) = 0$

我们令$a(i) = qi$

我们会发现左边【即为$L(i)$】$L(i) = \sum a(j)*b(i - j)$，刚好就是卷积的形式

可以用fft求出

同样的，对于右边

$R(i) = \sum a(j)*b(j - i)$

诶？不对啊，$j + j - i$不是定值啊。

但是ta们的位置关系还是很固定，考虑变形

我们将$a(i)$翻转，即令$c(n-i)=a(i)$

奇迹发生了：

$R(i) = \sum c(n - j)*b(j - i)$

这样我们算出的卷积，$R(i)$就与$E_{n-i}$对应

最后将算出的两个结果相减

呼啦啦，搞完啦~~

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<complex>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)

#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");

using namespace std;

const int maxn = 400005,maxm = 100005,INF = 1000000000;

const double pi = acos(-1);

typedef complex<double> E;

E a[maxn],b[maxn],aa[maxn];

int n,m,L,R[maxn];

void fft(E* a,int f){

	for (int i = 0; i < n; i++) if (i < R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);

	for (int i = 1; i < n; i <<= 1){

		E wn(cos(pi / i),f * sin(pi / i));

		for (int j = 0; j < n; j += (i << 1)){

			E w(1,0);

			for (int k = 0; k < i; k++,w *= wn){

				E x = a[j + k],y = w * a[j + k + i];

				a[j + k] = x + y; a[j + k + i] = x - y;

			}

		}

	}

	if (f == -1) for (int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n;

}

int main(){

	scanf("%d",&n); --n; double q;

	for (int i = 0; i <= n; i++){

		scanf("%lf",&q);

		a[i] = q; aa[n - i] = q;

	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = 1.0 / i / i;

	m = n << 1; for (n = 1; n <= m; n <<= 1) L++;

	for (int i = 0; i < n; i++) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));

	fft(a,1); fft(aa,1); fft(b,1);

	for (int i = 0; i < n; i++) a[i] *= b[i];

	for (int i = 0; i < n; i++) aa[i] *= b[i];

	fft(a,-1); fft(aa,-1);

	for (int i = 0; i <= (m >> 1); i++) printf("%.6lf\n",a[i].real() - aa[(m >> 1) - i].real());

	return 0;

}