铺砖问题 （状态压缩dp）

问题描述：

给定m×n个格子，每个格子被染成了黑色或白色。现在要用1×2的砖块覆盖这些格子，要求快于快之间互相不重叠，且覆盖了所有白色的格子（用 . 表示），但不覆盖任意一个黑色的格子（用 x 表示）。求一共有多少种覆盖方法，输出方案数对M取余后的结果。

首先考虑一下枚举所有的解法这一方法。为了不重复统计，我们每次从最左上方的空格处开始放置。对于哪些格子已经被覆盖过了，我们只需要用一个bool数组来维护即可，即:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int n,m,M;
char tu[20][20];
bool used[20][20];
int rec(int i,int j,bool used[20][20])
{
    if(j==m)///当前这一行已经走完了
    {
        return rec(i+1,0,used);
    }
    if(i==n)///已经把整个图都走完了
    {
        return 1;
    }

    if(used[i][j]||tu[i][j]=='x')///当这个点已经放过或者说是黑色的，则不需要放置地砖
    {
        return rec(i,j+1,used);
    }

    int res=0;
    used[i][j]=true;///标记这个点已经放过了

    ///横着放
    if(j+1<m&&!used[i][j+1]&&tu[i][j+1]=='.')///横着放能够放
    {
        used[i][j+1]=true;///笔记后面那个格子
        res+=rec(i,j+1,used);///接着往下找
        used[i][j+1]=false;///标记释放
    }
    ///竖着放
    if(i+1<n&&!used[i+1][j]&&tu[i+1][j]=='.')///竖着放能够放
    {
        used[i+1][j]=true;///标记下面那个格子
        res+=rec(i ,j+1,used);///刚开始以为这里应该是rec(i,j+1,used)，后来发现理解错了，i，j只是表示往后走
        used[i+1][j]=false;///标记释放
    }

    used[i][j]=false;///当前格子的标记释放
    return res%M;
}

void solve()
{
    memset(used,0,sizeof(used));
    printf("%d\n",rec(0,0,used));
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&M))
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf(" %s",tu[i]);
        solve();
    }
    return 0;
}

这个方法无法在规定的时间内求出答案。而且递归的参数共有n×m×2^nm种可能，也无法使用记忆话搜索。

首先，由于黑色的格子不能被覆盖，因此used里对应的 位置总是false。对于白色的格子，如果要在（i，j）位置上放置砖块，那么由于总是从最左上方可以放的位置开始放，那么对于（i'，j'）<（i，j）（按字典序比较）的（i'，j'）总有used[i'][j']=true成立。

此外，由于砖块的大小为1×2，因此对于每一列j'在满足（i'，j'）>=（i，j）的所有i'中，除了最小的i‘之外，都满足used[i'][j']=false。因此，不确定的只有每一列里还没有查询格子中最上面的一个，共m个。从而把这m个格子通过状态压缩编码进行记忆化搜索，复杂度为（n×m×2^m）。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,M;
char tu[20][20];
//bool used[20][20];

int dp[2][1<<20];
void solve()
{
    int *crt=dp[0],*next=dp[1];
    crt[0]=1;
    for(int i=n-1; i>=0; i--)
    {
        for(int j=m-1; j>=0; j--)
        {
            for(int used=0; used<1<<m; used++)
            {
                ///不需要在[i,j]放置砖块
                if((used>>j&1)||tu[i][j]=='x')
                {
                    next[used]=crt[used&~(1<<j)];
                }
                else
                {
                    int res=0;
                    ///横着放
                    if(j+1<m&&!(used>>(j+1)&1)&& tu[i][j+1]=='.')
                    {
                        res+=crt[used|1<<(j+1)];
                    }

                    ///竖着放
                    if(i+1<n&&tu[i+1][j]=='.')
                    {
                        res+=crt[used|1<<j];
                    }
                    next[used]=res%M;

                }
            }
            swap(crt,next);
        }
    }
    printf("%d\n",crt[0]);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&M))
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf(" %s",tu[i]);
        solve();
    }
    return 0;
}