51nod 1362 搬箱子——[ 推式子+组合数计算方法 ] [ 拉格朗日插值 ]

题目：http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1362

方法一：

　　设 a 是向下走的步数、 b 是向右下走的步数、 c 是向下走的步数。如果是走到第 j 列的方案数的话，有：

　　\( a+b = n \)　　　　\( b+c = j \)

　　所以枚举 a 和 j ， b 和 c 的值就是确定的，可以用组合数算：

　　\( \sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}C_{i+j}^{i}*C_{j}^{n-i} \)

　　\( = \sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m} \frac{(i+j)!}{i!j!} * \frac{j!}{(n-i)!(i+j-n)!} \)

　　\( = \sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m} \frac{(i+j)!}{i!(n-i)!(i+j-n)!} \)

　　一看就是要把只和 i 有关的提到前面。而且分子和分母好像能凑成新的组合数，所以弄一个 \( n! \)

　　\( = \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{n!}{i!(n-i)!} \sum\limits_{j=0}^{m} \frac{(i+j)!}{n!(i+j-n)!} \)

　　\( = \sum\limits_{i=0}^{n} C_{n}^{i} \sum\limits_{j=0}^{m} C_{i+j}^{n} \)

　　\( = \sum\limits_{i=0}^{n} C_{n}^{i} * C_{i+m+1}^{n+1} \)

　　但 i+m+1 很大，而且模数也不是质数。所以用扩展Lucas。

　　但它的 p^k 可以很大，会TLE。总之弄了半天还是会T一个点。反正本来复杂度也不对……

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=,M=1e5+;
int n,m,mod,tot,p[M],pk[M],ans;
void init()
{
  int d=mod; tot=;
  for(int i=;i*i<=d;i++)
    if(d%i==)
      {
    p[++tot]=i;pk[tot]=;
    while(d%i==)d/=i,pk[tot]*=i;
      }
  if(d>)p[++tot]=pk[tot]=d;
}
int pw(int x,int k,int md)
{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(!b){x=;y=;return;}  exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;}
int inv(int a,int md){int x,y;exgcd(a,md,x,y);return (x+md)%md;}
int multi(int n,int p,int pk)
{
  if(!n)return ;
  int sm=;
  for(int i=;i<pk;i++)if(i%p)sm=(ll)sm*i%pk;//if
  sm=pw(sm,n/pk,pk);
  for(int i=,j=n%pk;i<=j;i++)if(i%p)sm=(ll)sm*i%pk;//
  return (ll)sm*multi(n/p,p,pk)%pk;
}
int exlcs(int n,int m,int p,int pk)
{
  int sm=;
  for(int i=n;i;i/=p)sm+=i/p;
  for(int i=m;i;i/=p)sm-=i/p;
  for(int i=n-m;i;i/=p)sm-=i/p;
  return (ll)pw(p,sm,pk)*multi(n,p,pk)%pk*inv(multi(m,p,pk),pk)%pk*inv(multi(n-m,p,pk),pk)%pk;
}
int C(int n,int m,int p)
{
  if(n<m)return ;
  int ret,sm=;
  for(int i=;i<=n;i++)sm=(ll)sm*i%p; ret=sm;
  sm=; for(int i=;i<=m;i++)sm=(ll)sm*i%p;
  ret=(ll)ret*pw(sm,p-,p)%p;
  sm=; for(int i=;i<=n-m;i++)sm=(ll)sm*i%p;
  ret=(ll)ret*pw(sm,p-,p)%p;
  return ret;
}
int lcs(int n,int m,int p)
{
  if(n<m)return ; if(!m||n==m)return ;
  return (ll)C(n%p,m%p,p)*lcs(n/p,m/p,p)%p;
}
int calc(int n,int m)
{
  if(n<m)return ;/////
  int ret=;
  for(int i=;i<=tot;i++)
    {
      if(p[i]==pk[i])
    {
      ret=(ret+(ll)lcs(n,m,p[i])*(mod/pk[i])%mod*inv(mod/pk[i],pk[i]))%mod;
    }
      else
    ret=(ret+(ll)exlcs(n,m,p[i],pk[i])*(mod/pk[i])%mod*inv(mod/pk[i],pk[i]))%mod;
    }
  return ret;
}
int main()
{
  while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod)==)
    {
      init(); ans=;
      for(int i=;i<=n;i++)
    {
      ans=(ans+(ll)calc(n,i)*calc(i+m+,n+))%mod;
    }
      printf("%d\n",ans);
    }
  return ;
}

　　发现别人都不是这样写的。

　　因为 \( C_{i+m+1}^{n+1} \) 虽然 i+m+1 很大，但n+1 很小，所以可以枚举分子上的数（约掉分母里很大的那一项之后只剩下 n 项了！），一边把含的 p 拿出来之类的。

　　注意不要用求阶乘里 p 的个数的方法求好总的 p 的个数之后在枚举的时候跳过 %p==0 的数。因为可能那个数除掉一些 p 之后有剩下的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=,M=1e5+;
int n,m,mod,tot,p[M],pk[M],ans;
void init()
{
  int d=mod; tot=;
  for(int i=;i*i<=d;i++)
    if(d%i==)
      {
    p[++tot]=i;pk[tot]=;
    while(d%i==)d/=i,pk[tot]*=i;
      }
  if(d>)p[++tot]=pk[tot]=d;
}
int pw(int x,int k,int md)
{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(!b){x=;y=;return;}  exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;}
int inv(int a,int md){int x,y;exgcd(a,md,x,y);return (x%md+md)%md;}
int C(int n,int m,int p,int pk)
{
  int nm=,ret=;
  for(int i=n,j=;j<=m;i--,j++)
    {
      int a=i,b=j;
      while(a%p==)nm++,a/=p;
      while(b%p==)nm--,b/=p;
      ret=(ll)ret*a%pk*inv(b,pk)%pk;
    }
  ret=(ll)ret*pw(p,nm,pk)%pk;
  return ret;
}
int calc(int n,int m)
{
  if(n<m)return ;/////
  int ret=;
  for(int i=;i<=tot;i++)
    {
      ret=(ret+(ll)C(n,m,p[i],pk[i])*(mod/pk[i])%mod*inv(mod/pk[i],pk[i]))%mod;
    }
  return ret;
}
int main()
{
  while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod)==)
    {
      init(); ans=;
      for(int i=;i<=n;i++)
    {
      ans=(ans+(ll)calc(n,i)*calc(i+m+,n+))%mod;
    }
      printf("%d\n",ans);
    }
  return ;
}

方法二：

　　设 dp[ i ][ j ] 表示走到第 i 行第 j 列的方案数，则有 dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ] + dp[ i ][ j-1 ] + dp[ i-1 ][ j-1 ] ；

　　用差分的方法判断一下，发现 dp[ i ] 是一个 i 次的多项式。（设原数列为第0次差分后数列，若差分 k 次后数列变成常数列（即每一项值都一样），则为 k 次多项式）

　　设 \( s[ i ][ j ] = \sum\limits_{k=0}^{j} dp[ i ][ k ] \) ，则 s[ i ] 是一个 i+1 次多项式。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=,M=;
int n,m,mod,dp[N][N];
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:;}
int main()
{
  while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod)==)
    {
      memset(dp,,sizeof dp);
      int d=min(n+,m); dp[][]=;
      for(int i=;i<=n;i++)
    for(int j=;j<=d;j++)
      {
        if(i)dp[i][j]+=dp[i-][j],upd(dp[i][j]);
        if(j)dp[i][j]+=dp[i][j-],upd(dp[i][j]);
        if(i&&j)dp[i][j]+=dp[i-][j-],upd(dp[i][j]);
      }

      for(int j=;j<=d;j++)dp[n][j]+=dp[n][j-],upd(dp[n][j]);
      int lm=;
      for(int i=,R=d-;i<=lm;i++,R--)
    {
      int flag=;
      for(int j=;j<=R;j++)
        {
          dp[n][j]=dp[n][j+]-dp[n][j];
          if(j&&dp[n][j]!=dp[n][j-])flag=;
        }
      if(flag){printf("%d\n",i);break;}
    }
    }
  return ;
}

判断

　　所以可以用拉格朗日插值。

　　注意 ( i - j ) 可能没有逆元，同样采用把 mod 质因数（只有log(mod)个质因数！）分解、最后乘上 p^k 的方法。

　　注意要除的东西不能先累乘起来最后再除掉。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=,M=;
int n,m,mod,tot,dp[N][N],p[M],nm[M],phi;
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:;}
int pw(int x,int k)
{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}
void init()
{
  tot=; phi=mod; int k=mod;
  for(int i=;i*i<=k;i++)
    if(k%i==)
      {
    p[++tot]=i;
    phi/=i; phi*=(i-);
    while(k%i==)k/=i;
      }
  if(k>)p[++tot]=k,phi/=k,phi*=(k-);
}
void add(int a,int fx,int &ret)
{
  for(int i=;i<=tot;i++)
    {
      while(a%p[i]==)nm[i]+=fx,a/=p[i];
    }
  fx==? ret=(ll)ret*a%mod : ret=(ll)ret*pw(a,phi-)%mod ;
}
int cz(int ret)
{
  for(int i=;i<=tot;i++)
    {
      ret=(ll)ret*pw(p[i],nm[i])%mod;
      nm[i]=;
    }
  return ret;
}
int main()
{
  while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod)==)
    {
      memset(dp,,sizeof dp);
      int d=min(n+,m); dp[][]=;
      for(int i=;i<=n;i++)
    for(int j=;j<=d;j++)
      {
        if(i)dp[i][j]+=dp[i-][j],upd(dp[i][j]);
        if(j)dp[i][j]+=dp[i][j-],upd(dp[i][j]);
        if(i&&j)dp[i][j]+=dp[i-][j-],upd(dp[i][j]);
      }
      for(int i=;i<=d;i++)
    dp[n][i]+=dp[n][i-],upd(dp[n][i]);
      if(m==d){printf("%d\n",dp[n][m]);continue;}

      init();  int ans=;
      for(int i=;i<=d;i++)
    {
      int ret=;
      for(int j=;j<=d;j++)
        {
          if(i==j)continue;
          add(m-j,,ret);  add(i-j,-,ret);
        }
      ans=(ans+(ll)dp[n][i]*cz(ret))%mod;
    }
      if(ans<)ans+=mod;
      printf("%d\n",ans);
    }
  return ;
}