[luogu5654]基础函数练习题

答案即区间$[l,r]$的笛卡尔树上，左右子树有一个为空的点到根路径和（定义此为的该点答案）的max，

对求区间笛卡尔树复杂度为$o(n)$，无法通过，因此在全局笛卡尔树中考虑此问题

设$k$为$l$和$r$的lca，那么$i$的答案就是$i$到$k$路径中在$[l,r]$中的部分的和

对于$i$所在子树分类，即将$[l,r]$分为$[l,k)$和$(k,r]$两部分（分别求max），以下以左半部分为例：

考虑$i$到$k$的链，由于$i$在$k$左子树中，因此这条链也时刻在$k$左子树中，即其一定在$k$也就是$r$的左边，因此只需要考虑这个位置大于等于$l$

进一步的，再求$l$和$i$的lca（记为$j$），由于是lca且$l\le i$，因此$l$一定在$j$的左子树中，$i$在$j$的右子树中，因此$i$到$j$的这一部分一定都在$l$的右边，换言之可以枚举lca，直接对右子树内所有点深度取max

还要考虑$j$到$k$的部分，即求这一部分中在$l$右边的数之和，这件事是与$l$无关而仅和$j$本身有关，凡是这条链上其儿子是其右儿子的都不能被计算

（因为这就说明了$k$在其右子树，$l$又在$k$子树内，即$l$在其的右边，反之就说明$l$在左边）

根据上面的性质，具体过程如下——

预处理出以下三个数组：$s_{1}[k]$表示$k$到根路径中所有点的和，$s_{2}[k]$表示其中所有儿子是左儿子的点之和（特别的，$k$都计算入内），$mx[k]$表示$k$子树中满足左右子树有一个为空的点的$s_{1}[k]$的最大值

考虑询问$[l,k)$，暴力枚举$j$，则对于给定的$j$，其对答案的贡献为$mx[rs[j]]-s_{1}[j]+s_{2}[j]-s_{2}[k]+w[k]$（注意$j$一定在$l$的右边，否则不可能是$l$和$i$的lca），贡献是取max

离线，将询问挂在$l$上，然后遍历笛卡尔树，对于点$k$，将$mx[rs[k]]-s_{1}[k]+s_{2}[k]$记在以$k$的深度为下标的线段树上，然后搜索左子树，当搜索右子树时撤销此记录

对于询问，求出$k$（指询问的顶点）的深度+1到$l$的深度这段区间在线段树上的最大值即可（由于$l$的右子树也是可以的，因此先修改再询问）

（右半部分类似，即只考虑其儿子是右儿子的点）

注意要开long long，时间复杂度为$o(n\log_{2}n)$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 500005
 4 #define ll long long
 5 #define L (k<<1)
 6 #define R (L+1)
 7 #define mid (l+r>>1)
 8 vector<pair<int,int> >vl[N],vr[N];
 9 int n,q,x,y,a[N],w[N],st[N],ls[N],rs[N],s[N],f[N][21];
10 ll s1[N],s2[N],s3[N],mx[N],ans[N],tr[N<<2];
11 int lca(int x,int y){
12     if (s[x]<s[y])swap(x,y);
13     for(int i=20;i>=0;i--)
14         if (s[f[x][i]]>=s[y])x=f[x][i];
15     if (x==y)return x;
16     for(int i=20;i>=0;i--)
17         if (f[x][i]!=f[y][i]){
18             x=f[x][i];
19             y=f[y][i];
20         }
21     return f[x][0];
22 }
23 void dfs(int k,int fa){
24     if (!k)return;
25     s[k]=s[fa]+1;
26     s1[k]=s1[fa]+w[k];
27     s2[k]+=s2[fa]+w[k];
28     s3[k]+=s3[fa]+w[k];
29     f[k][0]=fa;
30     for(int i=1;i<=20;i++)f[k][i]=f[f[k][i-1]][i-1];
31     if (ls[k])s3[ls[k]]=-w[k];
32     dfs(ls[k],k);
33     if (rs[k])s2[rs[k]]=-w[k];
34     dfs(rs[k],k);
35     mx[k]=max(mx[ls[k]],mx[rs[k]]);
36     if ((!ls[k])||(!rs[k]))mx[k]=max(mx[k],s1[k]);
37 }
38 void update(int k,int l,int r,int x,ll y){
39     if (l==r){
40         tr[k]=y;
41         return;
42     }
43     if (x<=mid)update(L,l,mid,x,y);
44     else update(R,mid+1,r,x,y);
45     tr[k]=max(tr[L],tr[R]);
46 }
47 ll query(int k,int l,int r,int x,int y){
48     if ((l>y)||(x>r))return -1e15;
49     if ((x<=l)&&(r<=y))return tr[k];
50     return max(query(L,l,mid,x,y),query(R,mid+1,r,x,y));
51 }
52 void calc_l(int k){
53     if (!k)return;
54     if (!rs[k])update(1,1,n,s[k],s2[k]);
55     else update(1,1,n,s[k],mx[rs[k]]-s1[k]+s2[k]);
56     for(int i=0;i<vl[k].size();i++){
57         x=vl[k][i].first,y=vl[k][i].second;
58         ans[y]=max(ans[y],query(1,1,n,s[x]+1,s[k])-s2[x]+w[x]);
59     }
60     calc_l(ls[k]);
61     update(1,1,n,s[k],-1e15);
62     calc_l(rs[k]);
63 }
64 void calc_r(int k){
65     if (!k)return;
66     if (!ls[k])update(1,1,n,s[k],s3[k]);
67     else update(1,1,n,s[k],mx[ls[k]]-s1[k]+s3[k]);
68     for(int i=0;i<vr[k].size();i++){
69         x=vr[k][i].first,y=vr[k][i].second;
70         ans[y]=max(ans[y],query(1,1,n,s[x]+1,s[k])-s3[x]+w[x]);
71     }
72     calc_r(rs[k]);
73     update(1,1,n,s[k],-1e15);
74     calc_r(ls[k]);
75 }
76 int main(){
77     scanf("%d%d",&n,&q);
78     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
79     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
80     for(int i=1;i<=n;i++){
81         while ((st[0])&&(a[st[st[0]]]<a[i]))ls[i]=st[st[0]--];
82         if (st[0])rs[st[st[0]]]=i;
83         st[++st[0]]=i;
84     }
85     mx[0]=-1e15;
86     dfs(st[1],0);
87     for(int i=1;i<=q;i++){
88         scanf("%d%d",&x,&y);
89         int z=lca(x,y);
90         ans[i]=max(s2[x]-s2[z],s3[y]-s3[z])+w[z];
91         if (x<z)vl[x].push_back(make_pair(z,i));
92         if (z<y)vr[y].push_back(make_pair(z,i));
93     }
94     for(int i=1;i<=n;i++)update(1,1,n,i,-1e15);
95     calc_l(st[1]);
96     calc_r(st[1]);
97     for(int i=1;i<=q;i++)printf("%lld\n",ans[i]);
98 }