hdu4370 比较抽象的最短路

题意：

      给你一个n*n的矩阵，然后让咱们构造另一个n*n的矩阵，构造的矩阵有如下要求,

1.X12+X13+...X1n=1.

2.X1n+X2n+...Xn-1n=1.

3.for each i (1<i<n), satisfies ∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).

思路：

      感觉这个思路很奇葩啊，看了网上好多解释，但是很失望啊，几乎所有人说的都一样啊，一样到几乎不差一个字，我就 呵呵了，说实话这个题目我不是很理解，可以说现在并不是很明白，但是我可以说下我现在对他们的做法的一些理解，可能不全面，也可能有错误，希望路过的大牛指点，首先据说这是个0/1规划问题，我只知道0/1分数规划，不知道什么是0/1规划，而且具我的了解这个题目跟0/1分数规划没啥关系，我们现在就往图论上靠一下，首先虚拟出n个点来，记住这n个点不是行，也不是列，把题目给的矩阵就单独当成是一些数据，一些点之间的距离，不要去往矩阵上想，这样便于理解，然后分析它给的三个条件：

1.X12+X13+...X1n=1. 这个条件可以理解成是点1的出度为1，因为1会选择也只能选择一个点连出去，这样的话1的出度为0.

2.X1n+X2n+...Xn-1n=1. 同上，n的入度为0.

3.for each i (1<i<n), satisfies ∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).这个说的是除了1，n外，所有的点的入度和出度都相等。

这样，突然就想到了图的特点，这样我们想象一下，超级原点1，超级汇点n，中间所有的都是入度等于出度，让我们找一个最小的花费满足上面的3点要求，而且最关键的是所有点的权值都是 >= 0的，这样我们就可以用最短路去跑了，直接跑1->n之间的最短路，可能有人想，跑最短路不是直接就默认中间的点的部分所有的入度和出度都是1了？没错，所有的都是1，因为想象一下，能用1就满足题意了，还有必要再多跑吗？这个地方不要想矩阵的问题，不然很容易蒙的，这样我们跑出最短路c，这个是一种情况，还有另一种情况就是可以直接从1跑一个最小环得到花费c1，然后从n跑一个环得到最小花费c2，两个环也满足上面的三个限制，这样我们只要输出min(c
,c1 + c2)就行了，对了还有一个差点忘记说了，至于找最小花费环，方法很多，可以直接搜索，说一个对于这个题目比较简单的方法（在网上看的！嘿嘿），我们可以在跑最短路的时候先别把起始点入队，把起始点连接的所有点入队，这样跑完

之后，到起始点的最短距离就是最小环了（具体看代码），以上就是我对网上题解的理解，目前只有这些，可能不对，很希望能和看到的人一起交流研究这个题目。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>

#define N_node 330
#define INF 1000000000

using namespace std;

int cost[N_node][N_node];
int  s_x[N_node] ,mark[N_node];

void spfa(int s ,int n)
{
   for(int i = 0 ;i <= n ;i ++)
   s_x[i] = INF ,mark[i] = 0;
   queue<int>q;
   for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
   {
      if(s == i) continue;
      s_x[i] = cost[s][i];
      mark[i] = 1;
      q.push(i);
   }
   while(!q.empty())
   {
      int xin ,tou;
      tou = q.front();
      q.pop();
      mark[tou] = 0;
      for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
      {
         xin = i;
         if(s_x[xin] > s_x[tou] + cost[tou][xin])
         {
            s_x[xin] = s_x[tou] + cost[tou][xin];
            if(!mark[xin])
            {
               mark[xin] = 1;
               q.push(xin);
            }
         }
      }
   }
}

int main ()
{
   int i ,j ,n;
   while(~scanf("%d" ,&n))
   {
      for(i = 1 ;i <= n ;i ++)
      for(j = 1 ;j <= n ;j ++)
      scanf("%d" ,&cost[i][j]);
      spfa(1 ,n);
      int Ans = s_x[n];
      int c1 = s_x[1];
      spfa(n ,n);
      int c2 = s_x[n];
      if(Ans > c1 + c2) Ans = c1 + c2;
      printf("%d\n" ,Ans);
   }
   return 0;
}