洛谷3176 [HAOI2015]数字串拆分 （矩阵乘法+dp）

qwq真的是一道好题qwq自己做基本是必不可能做出来的。

首先，如果这个题目只是求一个\(f\)数组的话，那就是一道裸题。

首先，根据样例 根据题目描述，我们能发现其实同样数字的不同排列，也是属于不同的方案的，那统计起来其实方便很多。

首先我们发现，对于\(i\)这个数，他可以拆出来\([1,m]\)任何一个数，接在对应的\(f[i-1]到f[i-m]\)

也就是说\(f[i]=f[i-1]+f[i-2]+f[i-3]....f[i-m]\)

qwq那我们可以构造出转移矩阵

以\(m=3\)为栗子

0 0 1
1 0 1
0 1 1

我们假设这个转移矩阵是\(a\)

那我们就可以直接将每一个\(f[i]\)转化成，初始矩阵\(\times a^i\)的形式。

qwq但这个离我们求出来\(g\)数组还差好远。

由于\(g\)数组涉及\(f\)数组的拆分形式。

那我们不妨观察一下\(f[i+j]\)等于多少。

\[f[i+j]=a^{i+j} = a^i \times a^j = f[i]*f[j]
\]

那么我们就可以直接用矩阵乘法的形式来表示拼接了。

那g数组的转移式子，也就比较好求了

\[g[i]=\sum_{j=0}^{i-1}g[j]*d[j+1][i]
\]

其中\(d[j+1][i]\)表示\([j+1,i]\)这些数从左到右排起来，组成的数的\(f\)的对应矩阵是多少。

这里转移式子的意义是，我们对于当前位，考虑枚举所有他的后缀，和前面任意的\(f[i]\)的值乘起来，都是一个合法的方案（原理根据上面对\(f[i+j]\)的讨论）。

之所以能直接用\(g\)数组来乘转移矩阵而不是一个一个分别乘。

是因为同大小的矩阵具有乘法分配律！

所以\(g\)也就可以直接和对应矩阵乘起来了

那么最后的\(ans\)，就应该是初始矩阵

还是以\(m=3\)为例

0 0 1
0 0 0
0 0 0

乘上\(g[n]\)之后第一行最后一个元素的值，也就相当于\(g[n]\)的第m行m列的那个元素。

现在整个问题的瓶颈到了怎么求\(d\)数组，由于数值太大，所以我们没有办法直接快速乘。

qwq

现在考虑递推

我们令\(b[i][j]\)表示\(i\times 10^j\)的对应的f的转移矩阵是多少。

比较容易发现这个数组还是很好递推的。

每次\(b[i][j]=qsm(b[i][j-1],10)\)

那知道这个数组，其实\(d\)数组也就不难推了

我们首先令\(d[i][i]=b[s[i]-'0'][0]\)

那么\(d[j][i]=d[j+1][i]*b[s[j]-'0'][i-j]\)

那么到这里这个问题也就基本解决了。

感觉细节真的是很多。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 7;
const int mod = 998244353;
struct Ju{
  int x,y;
  int a[maxn][maxn];
  Ju operator * (Ju b)
  {
  	 Ju ans;
  	 memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
  	 ans.x=x;
  	 ans.y=b.y;
  	 for (int i=1;i<=ans.x;i++)
  	   for (int j=1;j<=ans.y;j++)
         for (int k=1;k<=y;k++)
           ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
     return ans;
  }
  Ju operator +(Ju b)
  {
  	 Ju ans;
  	 memcpy(ans.a,a,sizeof(ans.a));
  	 ans.x=x;
  	 ans.y=y;
  	 for (int i=1;i<=x;i++)
  	   for (int j=1;j<=y;j++)
  	     ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+b.a[i][j])%mod;
     return ans;
  }
};
Ju qsm(Ju i,int j)
{
    Ju ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    ans.x=i.x;
    ans.y=i.y;
    for (int p=1;p<=i.x;p++) ans.a[p][p]=1;
    while (j)
    {
        if (j&1) ans=ans*i;
        i=i*i;
        j>>=1;
    }
    return ans;
}
char s[2020];
int n,m;
Ju a[510][510]; //a[i][j]表示，区间[i,j]的数的矩阵是多少
Ju ymh[510][510]; //ymh[i][j]表示,i*10^j的矩阵是多少
Ju lyf;
Ju g[510];//大小相同的矩阵乘法具有分配律
void init() //初始化矩阵的行和列
{
    for (int i=0;i<=9;i++)
      for (int j=0;j<=n;j++)
      {
        ymh[i][j].x=ymh[i][j].y=m;
      }
    for (int i=0;i<=n;i++)
      for (int j=0;j<=n;j++)
        {
          a[i][j].x=a[i][j].y=m;
        }
    for (int i=0;i<=n;i++) g[i].x=g[i].y=m;
}
void print(Ju a)
{
    cout<<"*******"<<endl;
    cout<<a.x<<" "<<a.y<<endl;
    for (int i=1;i<=a.x;i++)
    {
        for (int j=1;j<=a.y;j++)
          cout<<a.a[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
}
signed main()
{
  init();
  scanf("%s",s+1);
  m=read();
  n=strlen(s+1);
  init();
  ymh[0][0].x=m;
  ymh[0][0].y=m;
  for (int i=1;i<=m;i++) ymh[0][0].a[i][i]=1; //设置初始矩阵
  lyf.x=m;
  lyf.y=m;
  for (int i=1;i<m;i++) lyf.a[i+1][i]=1;
  for (int i=1;i<=m;i++) lyf.a[i][m]=1; //设置转移矩阵 

  for (int i=1;i<=9;i++)
    ymh[i][0]=ymh[i-1][0]*lyf; //先递推出来所有i*10^0的答案
  for (int i=0;i<=9;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++)
      ymh[i][j]=qsm(ymh[i][j-1],10); //预处理出来所有的值
 // print(ymh[1][0]);
 // print(ymh[0][0]);
  for (int i=n;i>=1;i--)
  {
  	 a[i][i]=ymh[s[i]-'0'][0];
  	 for (int j=i-1;j>=1;j--)
  	 {
  	 	a[j][i]=ymh[s[j]-'0'][i-j]*a[j+1][i];
     }
  } //预处理a数组
  //print(a[1][1]);
  g[0]=ymh[0][0];
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
  	 for (int j=i-1;j>=0;j--)
  	   g[i]=g[i]+(g[j]*a[j+1][i]); //计算g，因为g是个sigma的数组，而且同大小矩阵乘法具有分配律，所以这句话表示，当前[j+1,i]这个串可以和之前任意一种组合，组合成一个串。
  }
  int ans=0;
  //print(g[n]);
  //for (int i=1;i<=m;i++) ans=(ans+g[n].a[1][i])%mod;
  //cout<<ans<<endl;
  cout<<g[n].a[m][m]<<endl;
  return 0;
}