「ARC103D」 Distance Sums

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传送门

水题。

首先如果让你求树上的节点 \(i\) 到其它所有节点的距离和，这是非常简单的，这就是非常常规的换根 \(\texttt{DP}\)。

那么，我们可以观察一下这个答案的递推式：\(f_u=f_{fa_u}-siz_u+(n-siz_u)\)。

也就是说，如果我们确定了 \(f_u\)，那么我们可以确定 \(f_{fa_u}\) 的值。

又根据递推式，我们可以考虑这样的一种构造方式：

首先将 \(f\) 从大到小排序，如果当前 \(f\) 值未被标记过，则令其为叶子节点，否则将其与对应节点连边。

然后根据递推式将 \(f_u-n+2siz_u\) 标记。

如此，如果不能建出 \(n-1\) 条边，那么肯定不存在合法解。

然后值得注意的几点：

• 注意我们实际上只是保证了 \(f_{fa_u}-f_u\) 的差值符合题目要求，所以我们需要对我们建出的树任意求出某个点的 \(f\) 来检验正确性。
• 在 \(f\) 中有两个最小值（即树有两个重心）时依据不同写法可能会有一些细节需要处理。（虽然数据没卡）

贴代码

/*---Author:HenryHuang---*/
/*---Never Settle---*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e5+5;
struct node{
	ll d;ll id;
	bool operator<(const node &h)const{
		return d>h.d;
	}
}p[maxn];
map<ll,int> mp;
ll cnt;
ll num[maxn];
vector<int> e[2*maxn];
vector<pair<int,int> >ans;
vector<int> g[maxn];
ll dis[maxn],siz[maxn];
void dfs(int u,int f){
	siz[u]=1;
	for(auto v:g[u]){
		if(v==f) continue;
		dfs(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		dis[u]+=dis[v]+siz[v];
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	ll n;cin>>n;
	ll owo=0;
	for(ll i=1;i<=n;++i){
		ll x;cin>>x;
		if(i==1) owo=x;
		p[i]=(node){x,i};
	}
	sort(p+1,p+n+1);
	for(ll i=1;i<=n;++i){
		if(!mp.count(p[i].d)){
			mp[p[i].d]=++cnt;
		}
		ll tmp=mp[p[i].d];
		++num[p[i].id];
		while(e[tmp].size()&&((p[i].d-n+2*(num[p[i].id]+num[e[tmp].back()])<=p[i].d)||i==n)){
			ans.emplace_back(e[tmp].back(),p[i].id);
			num[p[i].id]+=num[e[tmp].back()];
			e[tmp].pop_back();
		}
		if(!mp.count(p[i].d-n+2*num[p[i].id])){
			mp[p[i].d-n+2*num[p[i].id]]=++cnt;
		}
		tmp=mp[p[i].d-n+2*num[p[i].id]];
		e[tmp].emplace_back(p[i].id);
	}
	for(auto [x,y]:ans) g[x].emplace_back(y),g[y].emplace_back(x);
	dfs(1,0);
	if((int)ans.size()!=n-1||dis[1]!=owo) cout<<-1<<'\n';
	else
		for(auto [x,y]:ans) cout<<x<<' '<<y<<'\n';
	return 0;
}