【转载】区间信息的维护与查询（一）——二叉索引树（Fenwick树、树状数组）

在网上找到一篇非常不错的树状数组的博客，拿来转载，原文地址。

树状数组

最新看了一下区间的查询与修改的知识，最主要看到的是树状数组（BIT），以前感觉好高大上的东西，其实也不过就这么简单而已。

我们有一个动态连续和查询问题：给定一个n个元素的数组A1,A2,A3,…An，你的任务是设计一个数据结构，使得其支持以下两个操作：

1：Add(x,d)操作：让Ax增加d；

2：Query(L,R)操作：计算AL+AL+1+⋯+AR。

第一种思路就是循环累加，这样每次的时间复杂度都是Θ(n)级别的。这样在数据很大的情况之下，是一定会效率很低的，所以我们引进了二叉索引树（也就是树状数组）这种比较高级的数据结构，说它高级，也高不到那里去，也就是比原先我们学过的数据结构难一些就是了，这种数据结构在NOI中是经常使用的，但是NOIP一般不考，我也是一个NOIPer，水平也是达不到NOI的，只是我感觉这个东西挺好玩，也挺实用的，所以就学了学，发一篇博客。

在讲BIT之前，我们来先了解一个函数：对于任意正整数x，我们定义lowbit(x)为x的二进制中最右边的1所对应的值，比如，5的二进制是101，那么lowbit(5)= 1；4的二进制是100，那么lowbit(4) = 4；在程序实现中，lowbit代码如下

（此处对原文中的代码有修改）

int lowbit (int x)
{
    return x & (-x);
}

这里用到的是按位运算，请读者自己去查阅关于这点的资料。但为什么呢？计算机里面的整数采用补码表示，-x实际上是x在二进制中按位取反，末位+1后的结果，二者按位取“与”之后，前面全部变成0，之后的lowbit保持不变；

接下来给大家附上一张BIT 的图，其实也不是很难懂，但是我想要的图我找不到了，所以就附一个别的图吧，希望大家能尽量去看，在下面我会给大家解释其中C数组的含义

其中我们可以看到C[i]是有分层问题的，那么到底是怎么分层的呢，实际上就是根据lowbit（i）的值来分的层。

在这里我们可以看到BIT是有连线的，但实际上这些连线在计算机中并不存在，只是为了读者好理解才加上的。其实BIT本身就是一棵二叉树（具体请翻阅前面BIT的定义），那么这棵树上面就会有父亲节点和左右儿子节点（实际上在图中没有看到右孩子与父亲节点的连线，我们可以想象一下）

关于在BIT上节点的父子关系，我们是这样定义的：

对于节点i，如果它是左子节点，那么它的父节点的编号为i+lowbit(i)；如果它是右子节点，那么它的父节点编号为i+lowbit(i)。大家可以自己证明一下这个东西。搞清楚BIT 结构之后，我们来讲一下这个C数组是干嘛的。

C数组实际上只是个辅助数组，其中C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+……+A[i];可以看出，C数组就是用来辅助计算前缀和S[i]的；

那么我们有了C数组之后，如何计算S[i]呢？顺着i节点往左走，边走边往上爬（这里请注意，不一定沿着BIT中的边爬），把沿途的C[i]累加起来就好了（请读者注意，这里沿途经过的C[i]毫无遗漏和重复的走完了A[i]），那么下面我给大家附上这个求前缀和操作的代码（这里我只会给出核心代码，因为全部代码给出真的就是没必要）：

int Query(int x){
    int ret = 0;
    while(x > 0){
        ret += C[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}

下面来讲一下修改问题，因为BIT是一棵树，而且根据前面的C[i]的定义，我们可以知道，当某个A[i]改变时，有一些C[i]也会改变，那么需要更改那些C数组中的元素呢？从C[i]开始往右走，边走边“往上爬”（同上，不一定要沿着图中的边爬），沿途修改经过所有节点对应的C[i]值即可。下面附上更改元素的代码（同样只给出核心代码）：

void add(int x,int d){
    while(x <= n){
        C[x] += d;
        x += lowbit(x);
    }
}

这两个操作的时间复杂度都是Θ(log2n)预处理方法是将A和C数组清空，再执行n次add操作，总时间复杂度为Θ(nlog2n)；

BIT的推广：二位BIT：

一维BIT很容易推广到二维，二维BIT如下所示：

C[x][y] = sum(A[i][j]);

二维BIT的应用：

一个由数字构成的大矩阵，支持以下操作：

1.给矩阵中某个元素加上一个整数d（正负都可以）；

2.查询某个子矩阵中所有数字的和

并且对每个查询操作输出结果.

转载于2015年8月29日。