我试试用我的方式说说如何构造n维空间吧。

n维空间在n大于3后,说要画出来,有点难以想象。
但从数学的角度看,高维空间这个概念还算比较普通、容易理解的。

与其解释,不如快快开始。我选择用图(Graph)的方法来描述想说的东西,而且,我选的是特殊的某类空间,并且不是大多数人通常理解的空间。我选的空间的各个维度上只有一个比特——值只能在0和1之间取。数学符号表示是

下面会看到,这个模型会让人想到信息论里格雷码。但那是另一码事;我事实上忘了这种图论模型的名字,只是知道它而已。这里选择它,只是因为它的空间非常简单,我觉得应会比较容易感受维度的扩张如何进行。

首先希望大家放下对维度的先入之见。此处的维度,仅是@Ent 所说的自由度,并非大家通常理解的坐标轴的延伸方向。

开始吧。
首先是,

零维空间,没有维度——也即连一个可以取0-1值的比特都容不下。

但给它扩张一个维度后,

就有点意思了。原先的一个点获得了一个方向分成了两头。此时图示对应的空间可以容纳一个取0-1值的比特,这个空间即成为一维的空间。

再扩张,

这是空间可以容纳两个比特了,也即可以表示种状态。在该图里,开始可以看到维度是如何扩充的了:图的底下那条边,正是前一张图;将该条单边做一份拷贝,然后将原图和拷贝的两个顶点连接起来,就得到了这张图。

再按上述的方式扩张一次,

此时,该图拥有了个顶点,可表示的状态也增长到这个数目;它所对应的空间扩张成了三维的,能容纳三个在0和1之间取值的比特。这里有个比较有趣的现象:
许多人倾向将这个图看作是立方体,哪怕他只是一个图(Graph)。

再来,应该是四维空间。大家可能都见过很多次的四维空间的标志物:

即这个问题的首页图:超立方体(Hypercube)。
事实上确实会得到超立方体,

(解释一下,首页图片上的这个图形也是两个立方体的八个顶点互相连接,只不过下面这个图是两个大小相同的立方体,而上面那个看起来一大一小)
如果你眼力比较好,可以看出这个图跟本问题的首页图是等价——妥妥的同一回事。该有的点都有,点和点之间该有的边都有,不该有的边都没有。这次的扩张,和前面的操作完全一样:
先取上一张图的原份,做一份拷贝;再将拷贝和原份的对应点连接起来,得到下一张图。
新图对应的空间,再次多了一个比特;同时能表示的状态翻了一倍。

上面各个过程,进行的操作是一样的:对空间的扩基(Extending basis),将n-1维空间升级为n维空间。由数学归纳法,事实上我们可以得到任意维的空间。只是,我取的空间是特殊的。
但也不要认为这样的空间离欧氏空间很远——这种由比特组成的空间 (我忘了它的正式称谓) 的坐标值只能在两个离散值间取;假若各个坐标的取值都能取实数,那它就是欧氏空间

就介样,以后别说「画不出n维空间」这样的话了

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