Project Euler 91：Right triangles with integer coordinates 格点直角三角形

Right triangles with integer coordinates

The points P (x1, y1) and Q (x2, y2) are plotted at integer co-ordinates and are joined to the origin, O(0,0), to form ΔOPQ.

There are exactly fourteen triangles containing a right angle that can be formed when each co-ordinate lies between 0 and 2 inclusive; that is,0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 2.

Given that 0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 50, how many right triangles can be formed?

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格点直角三角形

点P(x1, y1)和点Q(x2, y2)都是格点，并与原点O(0,0)构成ΔOPQ。

当点P和点Q的所有坐标都在0到2之间，也就是说0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 2时，恰好能构造出14个直角三角形。

如果0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 50，能构造出多少个直角三角形？

 解题

先网上找到的答案，然后看题解中，前面几题给出了暴露的方法，遍历所有的点 ，判断是否是直角三角形就好了，最后的结果要除以2，,因为两个点是可以互换的。

Java

package Level3;

public class PE091{
    static void run(){
        int N = 50;
        int count = 0;
        // 第一个顶点
        for(int x1 = 0; x1<=N;x1++){
            for(int y1 = 0;y1<=N ;y1++){
                if(x1==0 && y1==0) continue;
                // 第二个顶点
                for(int x2 = 0;x2<=N;x2++){
                    for(int y2=0;y2<=N;y2++){
                        if(x2==0&&y2==0 || x1==x2&&y1==y2)
                            continue;
                        //判断是否是三角形
                        double d1 = getDistance(0,0,x1,y1);
                        double d2 = getDistance(0,0,x2,y2);
                        double d3 = getDistance(x1,y1,x2,y2);
                        if(d1+d2==d3|| d1+d3==d2||d2+d3==d1)
                            count++;
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(count/2);
    }
//    14234
//    running time=0s71ms
    static double getDistance(int x1,int y1,int x2,int y2){
        double d1 = (x1-x2)*(x1-x2);
        double d2 = (y1-y2)*(y1-y2);
        return d1+d2;
    }

    public static void main(String[] args) {
        long t0 = System.currentTimeMillis();
        run();
        long t1 = System.currentTimeMillis();
        long t = t1 - t0;
        System.out.println("running time="+t/1000+"s"+t%1000+"ms");

    }
}

参考链接1  参考链接2

上面给出来很好的不用暴力的方法

对于直角在原点的情况：

P Q两点只能在x轴  y轴上，固定一点看另一点，显然有50中可能，然而这一点也有50种可能，共2500种

对于直角在x轴或者y轴的情况：

当P 在x轴上的某点时候，Q的x坐标显然要和P 的一样，PQ都各有50个位置，共2500种

当P 在y轴的时候，也有2500种

对于直角在方格内部的时候：

要使得是直角三角形：OP要垂直PQ

OP的斜率：k = dy/dx  （dy/dx是最简分数）    其中P的坐标设为(x,y)

则PQ的斜率是：-dx/dy

如何根据斜率，找到Q的整数点，或者Q点的个数。

当P点的y轴值>Q点的y轴的值时候：

（如上图所示）可以发现：Q1 Q2 把PQ3等分成三份。三个Q点都是整数点。

对斜率为k = dy/dx :可以通过一个dy * dx的方格表示出来，所以，对于P(x,y)点，x每加一个dx y每减一个dy都是一个整数Q点，那么有多少个符合要求的点？只需要看最大能走多少步，

对于PQ的斜率是dx/dy,当P(x,y),   对x而言最大的步数是：(N-x)/dy ,对y而言最大的步数是：y/dx

这样其最小值就是Q的整数点数：MIN（(N-x)/dy，y/dx）

当P点的y轴值<Q点的y轴的值时候：

PQ的斜率是：-dx/dy

P(x,y) x向左走的最大步数：x/dy y向上走的最大步数：（N-y）/dx

这样其最小值就是Q的整数点数:MIN(x/dy,(N-y)/dx)

这与上面链接的结果不一样，根据运行结果发现答案是一样的

其实吧 对于P点的坐标可以是在N*N方格中的任意一点，P的坐标是可以对称的，所以可以直接乘以二的。

JAVA

package Level3;

public class PE091{
    static void run1(){
        int N = 50;
        // 直角在原点，直角在x轴 直角在y轴，个数都是N*N
        int result =N*N*3;
        //下面只需要对直角在方格内部的情况
        for(int x = 1;x<= N;x++){
            for(int y=1;y<= N;y++){
                int fact = gcd(x,y);
                result += Math.min(y*fact/x, (N-x)*fact/y);
                result += Math.min(x*fact/y, (N-y)*fact/x);
            }
        }
        System.out.println(result);
    }
//    14234
//    running time=0s78ms
    static int gcd(int x,int y){
        if(x<y){
            int tmp = x;
            x = y;
            y = tmp;
        }
        int r = x%y;
        while(r!=0){
            int tmp =x;
            x = y;
            y = tmp%x;
            r = x%y;
        }
        return y;
    }
    static void run(){
        int N = 50;
        int count = 0;
        // 第一个顶点
        for(int x1 = 0; x1<=N;x1++){
            for(int y1 = 0;y1<=N ;y1++){
                if(x1==0 && y1==0) continue;
                // 第二个顶点
                for(int x2 = 0;x2<=N;x2++){
                    for(int y2=0;y2<=N;y2++){
                        if(x2==0&&y2==0 || x1==x2&&y1==y2)
                            continue;
                        //判断是否是三角形
                        double d1 = getDistance(0,0,x1,y1);
                        double d2 = getDistance(0,0,x2,y2);
                        double d3 = getDistance(x1,y1,x2,y2);
                        if(d1+d2==d3|| d1+d3==d2||d2+d3==d1)
                            count++;
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(count/2);
    }
//    14234
//    running time=0s71ms
    static double getDistance(int x1,int y1,int x2,int y2){
        double d1 = (x1-x2)*(x1-x2);
        double d2 = (y1-y2)*(y1-y2);
        return d1+d2;
    }

    public static void main(String[] args) {
        long t0 = System.currentTimeMillis();
        run();
        long t1 = System.currentTimeMillis();
        long t = t1 - t0;
        System.out.println("running time="+t/1000+"s"+t%1000+"ms");

    }
}

Python

# coding=gbk

import time as time
from itertools import combinations
def run():
    N = 50
    count  = N*N*3
    for x in range(1,N+1):
        for y in range(1,N+1):
            fact = gcd(x,y)
            count += min((N-x)*fact/y,y*fact/x)*2
    print count 

#
# running time= 0.00300002098083 s
def gcd(x,y):
    if x<y:
        x,y = y,x
    while x%y!=0:
        tmp = x
        x = y
        y = tmp%y
    return y 

t0 = time.time()
run()
t1 = time.time()
print "running time=",(t1-t0),"s"