LeetCode之Single Number以及拓展

Problem 1：一个数组中有一个数字a只出现一次，其他数字都出现了两次。请找出这个只出现一次的数字？

考察知识点：异或运算

思路：比如数字 b^b = 0

　　　　     a^0 = a

因此，可以将数组中的所有数字进行异或，而最终异或的结果即为所求只出现一次的数字a.

代码：

 def SingleNumber1(Array):
     ret = 0
     for i in Array:
         ret ^= i
     return ret

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Problem 2：一个数组中有一个数字a只出现一次，其他数字都出现了三次。请找出这个只出现一次的数字？

考察知识点：位运算

解法一：

考虑用统计的思路来解这道题，如果一个数出现了三次就消掉，int的32个位都是由0/1组成的，所以将所有数的对应位加起来，

再将各位的统计和对3取模，最终剩下的结果就是要找出的数。

例如：数组 [4 7 4 4](这里为了方便，我们取int的最后四位)

　　0　　1　　0　　0

　　　　　0　　1　　1　　1

　　0　　1　　0　　0

　　0　　1　　0　　0

　Sum      0　　4　　1　　1

Sum%3    0　　1　　1　　1

最后Sum%3得到的结果0111即7，就是我们所要求的Single Number

代码：

 def SingleNumber2_1(Array):
     ret = 0
     for i in range(0,32):
         c = 0
         d = 1 << i
         for j in range(0, len(Array)):
             if Array[j] & d:
                 c += 1
         if c % 3:
             ret |= d;
     return ret

解法二：

考虑每一位的统计值，如果累加到3就归为0，则只会有0/1/2三种情况，所以将大小为32的int数组改为只用两个int即可。

第一个int的第i位为0/1代表第i位当前累加有0/1个 1 ，第二个int的第i位为1代表第i位当前累加有2。

当int1和int2中的第i位均为1时，我们将他们都清零。

例如：数组 [4 7 4 4](这里为了方便，我们取int的最后四位)

4　　0　　1　　0　　0

　   one     0　　1　　0　　0

two     0      0　　0　　0

=====================

　　　　　0　　1　　1　　1

one     0　　0　　1　　1

two     0      1　　0　　0

=====================

　　0　　1　　0　　0

one     0　　0　　0　　0

two     0      0　　1　　1

=====================

4　　0　　1　　0　　0

　　one     0　　1　　0　　0

two     0      0　　0　　0

=====================

代码：

 def SingleNumber2_2(Array):
     one = 0
     two = 0
     three = 0
     for i in range(0, len(Array)):
         two |= (one & Array[i])
         one ^= Array[i]
         three = one & two
         two -= three
         one -= three
     return one

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Problem 3：一个数组中有两个数字a、b只出现一次，其他数字都出现了两次。请找出这两个只出现一次的数字？

思路：若将数组中的所以数字进行异或，那么最终结果为 a ^ b

由于a != b，可以知道a ^ b != 0.即结果肯定有一位为1.

根据那一位，我们知道a，b的那一位肯定一个是0，一个是1.

我们找到为1的那一位i，根据i位为0/1将数组分成两组，即可将a, b分开。

因此，我们要解决的是两个Problem 1.

代码：

 def SingleNumber3(Array):
     ret = 0
     for i in range(0,len(Array)):
         ret ^= Array[i]
     pos = 0
     for j in range(0,32):
         if (ret>>j) & 1:
             pos = j
             break
     sub1,sub2 = split(Array,pos)
     single1 = SingleNumber1(sub1)
     single2 = SingleNumber1(sub2)
     return single1,single2

 def split(Array, pos):
     sub1 = []
     sub2 = []
     for i in range(0,len(Array)):
         if (Array[i]>>pos) & 1:
             sub1.append(Array[i])
         else:
             sub2.append(Array[i])
     return sub1,sub2

 def SingleNumber3(Array):
     ret = 0
     for i in range(0,len(Array)):
         ret ^= Array[i]
     pos = 0
     for j in range(0,32):
         if (ret>>i) & 1:
             pos = i
             break
     sub1,sub2 = split(Array,pos)
     single1 = SingleNumber1(sub1)
     single2 = SingleNumber1(sub2)
     return single1,single2

 def split(Array, pos):
     sub1 = []
     sub2 = []
     for i in range(0,len(Array)):
         if (Array[i]>>pos) & 1:
             sub1.append(Array[i])
         else:
             sub2.append(Array[i])
     return sub1,sub2

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Problem 4：一个数组中有一个数字a只出现一次，其他数字都出现了K次。请找出这个只出现一次的数字？

考察知识点：位运算 and 分情况解决

① K % 2 == 0

基本思路类似于Problem 1

② K % 2 == 1

基本思路类似于Problem 2

代码：

 def SingleNumber4(Array, k):
     if k % 2 == 0:
         ret = SingleNumber1(Array)
     else:
         ret = SingleNumber2_1(Array)
     return ret

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Problem 5：一个数组中有三个数字a、b、c只出现一次，其他数字都出现了两次。请找出这三个只出现一次的数字？

思路：此处转载自：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174201283084246412/

如果我们把数组中所有数字都异或，那最终的结果（记为x）就是a、b、c三个数字的异或结果（x=a^b^c）。其他出现了两次的数字在异或运算中相互抵消了。

我们可以证明异或的结果x不可能是a、b、c三个互不相同的数字中的任何一个。

我们用反证法证明。假设x等于a、b、c中的某一个。比如x等于a，也就是a=a^b^c。因此b^c等于0，即b等于c。这与a、b、c是三个互不相同的三个数相矛盾。

由于x与a、b、c都各不相同，因此x^a、x^b、x^c都不等于0。

我们定义一个函数f(n)，它的结果是保留数字n的二进制表示中的最后一位1，而把其他所有位都变成0。比如十进制6表示成二进制是0110，

因此f(6)的结果为2（二进制为0010）。f(x^a)、f(x^b)、f(x^c)的结果均不等于0。

接着我们考虑f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果。由于对于非0的n，f(n)的结果的二进制表示中只有一个数位是1，因此f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果肯定不为0。

于是f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果的二进制中至少有一位是1。假设最后一位是1的位是第m位。那么x^a、x^b、x^c的结果中，有一个或者三个数字的第m位是1。

我们使用反正法证明不可能三个数字第m位都是1.

如果x^a、x^b、x^c的第m位都是1，那么a、b、c三个数字的第m位和x的第m位都相反，因此a、b、c三个数字的第m位相同。如果a、b、c三个数字的第m位都

是0，x=a^b^c结果的第m位是0。由于x和a两个数字的第m位都是0，x^a结果的第m位应该是0。同理可以证明x^b、x^c第m位都是0。这与我们的假设矛盾。

如果a、b、c三个数字的第m位都是1，x=a^b^c结果的第m位是1。由于x和a两个数字的第m位都是1，x^a结果的第m位应该是0。

同理可以证明x^b、x^c第m位都是0。这还是与我们的假设矛盾。

因此x^a、x^b、x^c三个数字中，只有一个数字的第m位是1。于是我们找到了能够区分a、b、c三个数字的标准。

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这里我们需要注意上面只是在已知ａ，ｂ，ｃ的情况下的理论证明，具体编程则有些不一样：

我们先求得　x = a ^ b ^ c

我们可以将x分别与数组中的元素再进行一次异或，得到一个新的数组，但是并没有改变数组的特性。

比如与数组中有两个相等的数字d

那么经过处理之后这两个数还是相等的，只不过结果为x ^ d

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这样我们可以将数组分成两部分，这里假设a的m位为1。

则两个子数组分别为：sub1：包含a   == Problem 1

sub2：包含b, c  == Problem２

代码：

 def SingleNumber5(Array):
     x = 0
     for i in range(0,len(Array)):
         x ^= Array[i]
     newArray = []
     for j in range(0,len(Array)):
         newArray.append(x^Array[j])
     lastOneArrary = func(newArray)
     ret = 0
     for i in range(0,len(lastOneArrary)):
         ret ^= lastOneArrary[i]
     pos = 0
     for j in range(0,32):
         if (ret>>j) & 1:
             pos = j
             break
     sub1, sub2 = split(Array,pos)
     print(sub1)
     print(sub2)
     if len(sub1)%2:
         single1 = SingleNumber1(sub1)
         single2, single3 = SingleNumber3(sub2)
     else:
         single1 = SingleNumber1(sub2)
         single2, single3 = SingleNumber3(sub1)
     return single1, single2, single3

 def func(Array):
     newArray = []
     for i in range(0,len(Array)):
         pos = 0
         for j in range(0,32):
             if (Array[i]>>j) & 1:
                 pos = j
                 break
         newArray.append(1<<pos)
     return newArray