[微软实习生2014]K-th string

很久之前的事情了，微软2014实习生的在线测试题，记录下来以备后用。

题目描述：

Description

Consider a string set that each of them consists of {0, 1} only. All strings in the set have the same number of 0s and 1s. Write a program to find and output the K-th string according to the dictionary order. If such a string doesn’t exist, or the input is not valid, please output “Impossible”. For example, if we have two ‘0’s and two ‘1’s, we will have a set with 6 different strings, {0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100}, and the 4th string is 1001.

Input

The first line of the input file contains a single integer t (1 ≤ t ≤ 10000), the number of test cases, followed by the input data for each test case.
Each test case is 3 integers separated by blank space: N, M(2 <= N + M <= 33 and N , M >= 0), K(1 <= K <= 1000000000). N stands for the number of ‘0’s, M stands for the number of ‘1’s, and K stands for the K-th of string in the set that needs to be printed as output.

Output

For each case, print exactly one line. If the string exists, please print it, otherwise print “Impossible”.

样例输入

3
2 2 2
2 2 7
4 7 47

样例输出

0101
Impossible
01010111011

题解：

　　这道题目本身不是很难，题目的大概意思是让我们从N个0、M个1组成的二进制数从小到大排列中找出第k个。话虽这么说，但事实上肯定不能这么做，N和M虽然不大(最大到33)，但其排列组合的规模依然非常可观，暴力法的时间消耗是不能接受的。

　　说说我的想法吧。首先从0、1排列的那些数从小到大的排列中，一个很显然的是第一个数是0的肯定比第一个数是1的要小，而且我们要找的那个第k个数，要么在首位为0的那一拨里，要么在首位为1的那一拨里，也就是说，我们只要比较首位为0的数的个数与k的大小，就知道应该是属于哪一拨！至于怎么计算首位为0的数的个数，这是排列组合的基本知识。首先N个0和M个1组成的所有数的数目为(N+M)!/(N!*M!),那么，固定首位为0，就是求N-1个0和M个1组成的所有数的数目，即(N-1+M)!/((N-1)!*M!)

　　有了这个基本的想法，我们接下来只要递归得做这样一件事情就行。以题中的输入2 2 2为例，对于初始情形，2个0和2个1共有6种组合，其中第一位为0的有3个，由k小于3，所以肯定这个数在首位为0的那一拨里，这时就可以输出第一位“0”，如果这里k大于3，那么输出首位为“1”，并在首位为1的那一拨里找第k-3大的，这么递归下去即可。

　　代码如下：

 #include <iostream>

 using namespace std;

 int jiecheng(int n)
 {
     if(n== || n==) return ;
     return n*jiecheng(n-);
 }

 int allNum(int n,int m)
 {
     return jiecheng(n+m)/(jiecheng(n)*jiecheng(m));
 }

 void fun(int n,int m,int k)
 {
     int znum;
     if(k>allNum(n,m)) return;
     if(n==)
         znum=;
     else
         znum = allNum(n-,m);
     if(m== && n==)
         return;
     if(m== && n!=)
     {
         for(int i=; i<n; i++)
             cout<<"";
         return;
     }
     if(k>znum)//在以1开头的里面
     {
         cout<<"";
         fun(n,m-,k-znum);
     }
     else
     {
         cout<<"";
         fun(n-,m,k);
     }
 }
 int main()
 {
     int T;
     int N,M,K;
     int total;
     cin>>T;
     while(T--)
     {
         cin>>N>>M>>K;
         if(N== && M==)
         {
             cout<<"Impossible"<<endl;
             continue;
         }
         if(N!= && M== && K==)
         {
             for(int i=; i<N; i++)
                 cout<<"";
             cout<<endl;
             continue;
         }
         total = allNum(N,M);
         if(K>total)
         {
             cout<<"Impossible"<<endl;
             continue;
         }
         fun(N,M,K);
         cout<<endl;
     }
     return ;
 }

　　ps：这个代码比较丑陋，有一个重要的问题是，当N+M很大时，(N+M)!/(N!*M!)会超出int的表示范围，这时候需要用一些其他的高精度类型来表示，这算是本题的一个陷阱，不是核心内容，具体不表。