Dynamic Rankings（树状数组套权值线段树）

Dynamic Rankings（树状数组套权值线段树）

给定一个含有n个数的序列a[1],a[2],a[3]……a[n]，程序必须回答这样的询问：对于给定的i,j,k，在a[i],a[i+1],a[i+2]……a[j]中第k小的数是多少(1≤k≤j-i+1)，并且，你可以改变一些a[i]的值，改变后，程序还能针对改变后的a继续回答上面的问题。你需要编一个这样的程序，从输入文件中读入序列a，然后读入一系列的指令，包括询问指令和修改指令。

对于每一个询问指令，你必须输出正确的回答。有两个正整数n(1≤n≤10000)，m(1≤m≤10000)。分别表示序列的长度和指令的个数。

这道题就是一个带修区间第k大的问题，可以用cdq分治做，也可以用树套树做。由于有修改，如果暴力在主席树上修改，时间复杂度就爆炸了，单个修改都是\(O(nlogn)\)的。再看看查询，是\(O(logn)\)的，这就启发我们可不可以把它们两个平均一下，于是就用到了树状数组。在树状数组的每个区间上都建一颗权值线段树，维护此区间上每个值出现的个数（链+权值线段树=主席树，树状数组+权值线段树=带修主席树【滑稽】）。那么修改某一个数的值，会牵动到树状数组上logn个区间，然后权值线段树单点修改时间为\(O(logn)\)，总时间是\(O(log^2nn)\)的。查询区间\([l, r]\)的第k大值，需要得到\([1, l-1]\)和\([1, r]\)的权值线段树，然后将它们相减，依然会牵动到logn个区间，由于权值线段树区间查询时间是\(O(logn)\)，总时间也是\(O(logn^2n)\)的。注意要离散化，这题还是挺难写的。

所以说，数据结构可以平衡操作的时间复杂度。

P.S. 三个月后的我看到这篇博客仿佛看到了救星（要讲课啊妈蛋）

P.A. 四个月后的我忽然发现这个东西的本质和主席树的本质是不同的，因为主席树的每棵权值线段树是继承与前一棵权值线段树的，而它只是把插入和查询的前提复杂度变成了\(O(logn)\)而已。不过，我还是倾向于叫它带修主席树，因为它是主席树应用到树状数组上的自然推论。

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=2e4+5;
int n, m, a[maxn], b[maxn], cntb, rt[maxn];
int c1[maxn], c2[maxn], c3[maxn];
int size[maxn*400], cseg, ls[maxn*400], rs[maxn*400];
int tset1[maxn], tset2[maxn], cnt1, cnt2;
inline int lowbit(int x){ return x&(-x); } //树状数组上的权值线段树

void ins(int &now, int l, int r, int pos, int v){
    if (!now) now=++cseg; size[now]+=v;
    if (l==r) return; int mid=(l+r)>>1;
    if (pos<=mid) ins(ls[now], l, mid, pos, v);
    else ins(rs[now], mid+1, r, pos, v);
}

void add(int x, int v){
    int k=lower_bound(b+1, b+cntb+1, a[x])-b;
    for (int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))
        ins(rt[i], 1, cntb, k, v);
}

int query(int l, int r, int v){  //logn个权值线段树一起跳
    if (l==r) return l;
    int sum=0, mid=(l+r)>>1;
    for (int i=1; i<=cnt1; ++i) sum-=size[ls[tset1[i]]];
    for (int i=1; i<=cnt2; ++i) sum+=size[ls[tset2[i]]];
    if (v<=sum){
        for (int i=1; i<=cnt1; ++i) tset1[i]=ls[tset1[i]];
        for (int i=1; i<=cnt2; ++i) tset2[i]=ls[tset2[i]];
        return query(l, mid, v);
    } else {
        for (int i=1; i<=cnt1; ++i) tset1[i]=rs[tset1[i]];
        for (int i=1; i<=cnt2; ++i) tset2[i]=rs[tset2[i]];
        return query(mid+1, r, v-sum);
    }
}

inline void get(int &x){
    char c; int flag=1;
    for (; !isdigit(c=getchar()); ) if (c=='-') flag=-1;
    for (x=c-48; c=getchar(), isdigit(c); )
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    if (flag==-1) x=-x;
}

int main(){
    get(n); get(m); char c;
    for (int i=1; i<=n; ++i) get(a[i]), b[++cntb]=a[i];
    for (int i=0; i<m; ++i){
        while (!isgraph(c=getchar()));
        get(c1[i]); get(c2[i]);
        if (c=='Q') get(c3[i]); else b[++cntb]=c2[i];
    }
    sort(b+1, b+cntb+1); cntb=unique(b+1, b+cntb+1)-b-1;
    for (int i=1; i<=n; ++i) add(i, 1);
    for (int i=0; i<m; ++i) if (c3[i]){
        cnt1=cnt2=0;  //把要查询的区间都标出来
        for (int j=c1[i]-1; j; j-=lowbit(j)) tset1[++cnt1]=rt[j];
        for (int j=c2[i]; j; j-=lowbit(j)) tset2[++cnt2]=rt[j];
        printf("%d\n", b[query(1, cntb, c3[i])]);
    } else { add(c1[i], -1); a[c1[i]]=c2[i]; add(c1[i], 1); }
    return 0;
}