CF1100E Andrew and Taxi 二分答案+拓扑排序

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

给定一个有向图，改变其中某些边的方向，它将成为一个有向无环图。

现在求一个改变边方向的方案，使得所选边边权的最大值最小。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

点数n，边数m，接下来是m条有向边

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

输出一个最大值，一个k

接下来一行k个数，表示那些边需要反向

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

5 6
2 1 1
5 2 6
2 3 2
3 4 3
4 5 5
1 5 4

5 7
2 1 5
3 2 3
1 3 3
2 4 1
4 3 5
5 4 1
1 5 3

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

2 2
1 3 

3 3
3 4 7

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

\(2 \leq n \leq 100000\), \(1 \leq m \leq 100000\)

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

根据题目，显然要二分答案

考虑二分答案之后怎么做

对于比mid大的边，我们肯定是不能改变方向的

于是直接加入图中

然后只需看看有没有环就行了，因为比mid小的边我们可以任意更改

可以用拓扑排序做

因为它只让最大值最小，并没有说改变边的数量最小，所以小的边随便改

现在考虑输出方案

我们在拓扑排序的时候记一下每个点的拓扑序

考虑一条边x到y，如果x的拓扑序大于y，显然可能成环（不是一定成环）

但是如果x的拓扑序小于y，一定不会成环

题目有不限制改边数量，我们就将其反向即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int maxn = 1e5 + 10;
struct node {
	int x, y, z, id;
	friend bool operator < (const node &a, const node &b) {
		return a.z < b.z;
	}
}e[maxn];
struct E {
	int to;
	E *nxt;
	E(int to = 0, E *nxt = NULL): to(to), nxt(nxt) {}
}pool[maxn], *tail;
int du[maxn], top[maxn];
bool vis[maxn];
int n, m;
E *head[maxn];
void add(int from, int to) {
	head[from] = new E(to, head[from]);
}

bool ok(int mid) {
	std::queue<int> q;
	int cnt = 0;
	tail = pool;
	for(int i = 1; i <= n; i++) du[i] = 0, head[i] = NULL, top[i] = 0;
	for(int i = 1; i <= m; i++) vis[i] = false;
	for(int i = m; i >= 1; i--) {
		if(e[i].z <= mid) break;
		add(e[i].x, e[i].y);
		du[e[i].y]++;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) if(!du[i]) q.push(i);
	while(!q.empty()) {
		int tp = q.front(); q.pop();
		top[tp] = ++cnt;
		for(E *i = head[tp]; i; i = i->nxt) {
			du[i->to]--;
			if(!du[i->to]) q.push(i->to);
		}
	}
	if(cnt != n) return false;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		if(e[i].z > mid) break;
		if(top[e[i].x] > top[e[i].y]) vis[e[i].id] = true;
	}
	return true;
}

int main() {
	n = in(), m = in();
	for(int i = 1; i <= m; i++) e[i].x = in(), e[i].y = in(), e[i].z = in(), e[i].id = i;
	std::sort(e + 1, e + m + 1);
	int l = 0, r = 1e9;
	int ans = 0;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(ok(mid)) ans = mid, r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	ok(ans);
	int tot = 0;
	for(int i = 1; i <= m; i++) if(vis[i]) tot++;
	printf("%d %d\n", ans, tot);
	for(int i = 1; i <= m; i++) if(vis[i]) printf("%d ", i);
	return 0;
}