【专章】dp入门

知识点

动态规划（简称dp），可以说是各种程序设计中遇到的第一个坎吧，这篇博文是我对dp的一点点理解，希望可以帮助更多人dp入门。

 

先看看这段话

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。

这是百度百科上对于动态规划介绍，其实dp并没有这么复杂，可以把dp看作是记忆化搜索的递推形式。

再来看一下下面这段文字（来自《挑战程序设计竞赛(第二版)》）：

就像上面所说的，对于一道题目，如果选择搜索可能会出现大量重复的状态，如函数f

 int f(int a,int b)
 {
     return f(a+,b+)+f(a-,b-);
 }

这种函数在计算过程中有大量的资源被浪费，如 f(1,1) 和 f(3,3) 在返回值时都会计算一次 f(2,2)，这种无谓的计算致使了动态规划的诞生。

动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度，因此它比回溯法、暴力法等要快许多。

现在让我们通过一个例子来了解一下DP的基本原理。

首先，我们要找到某个状态的最优解，然后在它的帮助下，找到下一个状态的最优解。

（上面这段话看不懂也就别看了）

其实简单的来说，dp就是用数组来递推下一个状态。

像上面的f函数，写成dp就是 f[a][b] 。递推式也与函数基本相同：f[a][b]=f[a-1][b-1]+f[a+1][b+1]。用这个式子，双重循环即可。

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例题

如下是几个经典问题，对于初学者来说有一点点难度，不懂可以多看几篇关于dp入门的文章。此处附上我的代码。题目可以百度。

最好要理解，并能独立实现代码

1、01背包

2、最长上升子序列（简称LIS，两种做法，一种是O(n²)，另一种是O(nlogn)）

3、最长公共子序列（简称LCS）

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看完了上面的，可以做做题练练手了。

下面是一些题目的练习，题目都在www.luogu.org上，可以配合里面的题解与我的代码来理解。

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习题

下述题目都为基础的dp包括经典问题与其各种变形，乃dp入门必备之题。

注意：　1、从最下面往上刷

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最后提供一些练习题与详解：传送门

刷完了进入下一章：dp基础

洛谷P1280 尼克的任务

逆序dp，详见注释

洛谷P1091 合唱队形

从头开始，从尾开始各跑一次LIS

洛谷P1115 最大子段和 dp

洛谷P1508 Likecloud-吃、吃、吃

洛谷P1510 精卫填海

洛谷P1855 榨取kkksc03

洛谷P1216 [USACO1.5]数字三角形 Number Triangles

洛谷P1910 L国的战斗之间谍

洛谷P2925 [USACO08DEC]干草出售Hay For Sale

洛谷P2347 砝码称重

洛谷P2722 总分 Score Inflation

开始dp入门的征程吧！

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后继章：dp基础。