Luogu P3455 [POI2007]ZAP-Queries

由于之前做了Luogu P2257 YY的GCD，这里的做法就十分套路了。

建议先看上面一题的推导，这里的话就略去一些共性的地方了。

还是和之前一样设：

\[f(d)=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b[\gcd(i,j)=d]
\]

\[F(n)=\sum_{n|d} f(d)=\lfloor\frac{a}{n}\rfloor\lfloor\frac{b}{n}\rfloor
\]

还是莫比乌斯反演定理推出：

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\lfloor\frac{d}{n}\rfloor)F(d)
\]

这时我们发现，不像上面一题那么繁琐还要对\(f(n)\)求和，这里\(ans=f(d)\)

所以可以直接开始推导答案：

\[ans=\sum_{d|k}\mu(\lfloor\frac{k}{d}\rfloor)F(k)
\]

还是考虑换个东西枚举，我们设\(\lfloor\frac{k}{d}\rfloor=t\)，枚举\(t\)则有：

\[ans=\sum_{t=1}^{\min(\lfloor\frac{a}{d}\rfloor,\lfloor\frac{b}{d}\rfloor)}\mu(t)\lfloor\frac{a}{t\cdot d}\rfloor\lfloor\frac{b}{t\cdot d}\rfloor
\]

这个式子已经变成\(O(n)\)的了，还是注意到\(\lfloor\frac{a}{t\cdot d}\rfloor\lfloor\frac{b}{t\cdot d}\rfloor\)可以除法分块，然后只需要对莫比乌斯函数做一个前缀和即可单次\(O(\sqrt n)\)。

CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define RI register int
using namespace std;
const int P=50005;
int t,n,m,d,prime[P+5],cnt,mu[P+5],sum[P+5]; long long ans; bool vis[P+5];
class FileInputOutput
{
    private:
        #define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,S,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        #define pc(ch) (Ftop<S?Fout[Ftop++]=ch:(fwrite(Fout,1,S,stdout),Fout[(Ftop=0)++]=ch))
        #define S 1<<21
        char Fin[S],Fout[S],*A,*B; int Ftop,pt[25];
    public:
        FileInputOutput() { A=B=Fin; Ftop=0; }
        inline void read(int &x)
        {
            x=0; char ch; int flag=1; while (!isdigit(ch=tc())) flag=ch^'-'?1:-1;
            while (x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc())); x*=flag;
        }
        inline void write(long long x)
        {
            if (!x) return (void)(pc(48),pc('\n')); RI ptop=0;
            while (x) pt[++ptop]=x%10,x/=10; while (ptop) pc(pt[ptop--]+48); pc('\n');
        }
        inline void Fend(void)
        {
            fwrite(Fout,1,Ftop,stdout);
        }
        #undef tc
        #undef pc
        #undef S
}F;
#define Pi prime[j]
inline void Euler(void)
{
    vis[1]=mu[1]=1; RI i,j; for (i=2;i<=P;++i)
    {
        if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for (j=1;j<=cnt&&i*Pi<=P;++j)
        {
            vis[i*Pi]=1; if (i%Pi) mu[i*Pi]=-mu[i]; else break;
        }
    }
    for (i=1;i<=P;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
#undef Pi
inline int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    for (Euler(),F.read(t);t;--t)
    {
        F.read(n); F.read(m); F.read(d); ans=0; int lim=min(n/d,m/d);
        for (RI l=1,r;l<=lim;l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l)); ans+=1LL*(n/(l*d))*(m/(l*d))*(sum[r]-sum[l-1]);
        }
        F.write(ans);
    }
    return F.Fend(),0;
}