数列分块入门九题（一）：LOJ6277~6279

Preface

分块，一个神奇的暴力算法。可以把很多\(O(n^2)\)的数据结构题的暴力优化到常数极小的\(O(n\sqrt n)\)。当一些毒瘤题无法用线段树，主席树，平衡树，树状数组......等\(O(n\ logn)\)方法写出时当然在你不会写这些算法的时候用大力分块骗分是再好不过的方法了！

当然分块的大致思想比较简单，我们看一下：

/Here is Pic 1

但是由于分块在实际应用中有不同的方法，所以让我们来找各种各样的板子题来练练手吧。

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数列分块入门 1——区间加法，单点查值

这道题对于几乎所有的线性数据结构来说，这应该算是一个必修的操作了吧。

对于分块，我们一般就考虑两个问题：

1. 对于块内的元素如何高效地操作（\(O(1)\)或\(O(log\ n)\)）
2. 对于快外的元素怎么暴力处理（\(O(\sqrt n)\)或\(O(log\ \sqrt n)\)）

对于第一个问题，我们对每个完整的块打一个标记，然后两端不完整的部分我们直接遍历更新即可。

查询的时候讲它本身的值和它所在块的标记相加即可。

CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=50005,BLO=250;
int n,a[N],size,blk[N],mark[BLO],opt,x,y,z;
inline char tc(void)
{
	static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
	return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
	x=0; char ch; int flag=1; while (!isdigit(ch=tc())) flag=ch^'-'?1:-1;
	while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc())); x*=flag;
}
inline void write(int x)
{
	if (x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
inline int min(int a,int b)
{
	return a<b?a:b;
}
inline int query(int x)
{
	return mark[blk[x]]+a[x];
}
inline void modify(int l,int r,int k)
{
	register int i;
	for (i=l;i<=min(blk[l]*size,r);++i) a[i]+=k;
	if (blk[l]!=blk[r]) for (i=(blk[r]-1)*size+1;i<=r;++i) a[i]+=k;
	for (i=blk[l]+1;i<=blk[r]-1;++i) mark[i]+=k;
}
int main()
{
	//freopen("1.in","r",stdin); freopen("1.out","w",stdout);
	register int i; read(n); size=sqrt(n);
	for (i=1;i<=n;++i)
	read(a[i]),blk[i]=(i-1)/size+1;
	for (i=1;i<=n;++i)
	{
		read(opt); read(x); read(y); read(z);
		if (opt) write(query(y)),putchar('\n'); else modify(x,y,z);
	}
	return 0;
}

---

数列分块入门 2——区间加法，询问区间内小于某个值的元素个数

这道题其实在没有加法并且离线的情况下可以用主席树解决，但在这里似乎没有什么好的\(O(n\ logn)\)方法。

对于分块，区间加法的时候还是常规的块内打标记+块外暴力更新

但是询问小于某个值的元素个数又是什么鬼？

然后我们就发现，分块对于一般数据结构的优势就来了，我们可以对每一块进行排序

然后查询，二分了解一下。不过虽然修改的时候对于整块的顺序没有影响，但是我们对于两端的暴力就会影响相对顺序。

然后处理方法也很暴力，直接重新排序即可，复杂度约为\(O(n\sqrt n\cdot log\sqrt n)\)

CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=50005,BLO=250;
int n,a[N],size,blk[N],mark[BLO],opt,x,y,z,tot;
vector <int> r[BLO];
inline char tc(void)
{
	static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
	return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
	x=0; char ch; int flag=1; while (!isdigit(ch=tc())) flag=ch^'-'?1:-1;
	while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc())); x*=flag;
}
inline void write(int x)
{
	if (x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
inline int min(int a,int b)
{
	return a<b?a:b;
}
inline int find(int id,int x)
{
	int L=0,R=size-1,res=-1;
	while (L<=R)
	{
		int mid=L+R>>1;
		if (r[id][mid]<x) res=mid,L=mid+1; else R=mid-1;
	}
	return res+1;
}
inline void reset(int id)
{
	register int i; r[id].clear();
	for (i=(id-1)*size+1;i<=id*size;++i)
	r[id].push_back(a[i]);
	sort(r[id].begin(),r[id].end());
}
inline void modify(int l,int r,int x)
{
	register int i;
	for (i=l;i<=min(blk[l]*size,r);++i)
	a[i]+=x; reset(blk[l]);
	if (blk[l]!=blk[r])
	{
		for (i=(blk[r]-1)*size+1;i<=r;++i)
		a[i]+=x; reset(blk[r]);
	}
	for (i=blk[l]+1;i<=blk[r]-1;++i) mark[i]+=x;
}
inline int query(int l,int r,int x)
{
	register int i; int ans=0;
	for (i=l;i<=min(blk[l]*size,r);++i) (a[i]+mark[blk[l]]<x)&&++ans;
	if (blk[l]!=blk[r]) for (i=(blk[r]-1)*size+1;i<=r;++i) (a[i]+mark[blk[r]]<x)&&++ans;
	for (i=blk[l]+1;i<=blk[r]-1;++i) ans+=find(i,x-mark[i]);
	return ans;
}
int main()
{
	//freopen("2.in","r",stdin); freopen("2.out","w",stdout);
	register int i; read(n); size=sqrt(n); tot=(n-1)/size+1;
	for (i=1;i<=n;++i)
	read(a[i]),r[blk[i]=(i-1)/size+1].push_back(a[i]);
	for (i=1;i<=tot;++i)
	sort(r[i].begin(),r[i].end());
	for (i=1;i<=n;++i)
	{
		read(opt); read(x); read(y); read(z);
		if (opt) write(query(x,y,z*z)),putchar('\n'); else modify(x,y,z);
	}
	return 0;
}

---

数列分块入门 3——区间加法，询问区间内小于某个值的前驱

这道题有了上一道题的思路就很简单了。

几乎是一样的方法我是直接改了下上面的代码的，只不过是二分的几个细节改了下而已

CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=100005,BLO=320;
int n,a[N],size,blk[N],mark[BLO],opt,x,y,z,tot;
vector <int> r[BLO];
inline char tc(void)
{
	static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
	return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
	x=0; char ch; int flag=1; while (!isdigit(ch=tc())) flag=ch^'-'?1:-1;
	while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc())); x*=flag;
}
inline void write(int x)
{
	if (x<0) putchar('-'),x=-x;
	if (x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0');
}
inline int min(int a,int b)
{
	return a<b?a:b;
}
inline int max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}
inline int find(int id,int x)
{
	int L=0,R=size-1,res=-1;
	while (L<=R)
	{
		int mid=L+R>>1;
		if (r[id][mid]<x) res=r[id][mid],L=mid+1; else R=mid-1;
	}
	return ~res?res+mark[id]:-1;
}
inline void reset(int id)
{
	register int i; r[id].clear();
	for (i=(id-1)*size+1;i<=id*size;++i)
	r[id].push_back(a[i]);
	sort(r[id].begin(),r[id].end());
}
inline void modify(int l,int r,int x)
{
	register int i;
	for (i=l;i<=min(blk[l]*size,r);++i)
	a[i]+=x; reset(blk[l]);
	if (blk[l]!=blk[r])
	{
		for (i=(blk[r]-1)*size+1;i<=r;++i)
		a[i]+=x; reset(blk[r]);
	}
	for (i=blk[l]+1;i<=blk[r]-1;++i) mark[i]+=x;
}
inline int query(int l,int r,int x)
{
	register int i; int ans=-1;
	for (i=l;i<=min(blk[l]*size,r);++i) (a[i]+mark[blk[l]]<x)&&(ans=max(ans,a[i]+mark[blk[l]]));
	if (blk[l]!=blk[r]) for (i=(blk[r]-1)*size+1;i<=r;++i) (a[i]+mark[blk[r]]<x)&&(ans=max(ans,a[i]+mark[blk[r]]));
	for (i=blk[l]+1;i<=blk[r]-1;++i) ans=max(ans,find(i,x-mark[i]));
	return ans;
}
int main()
{
	//freopen("3.in","r",stdin); freopen("3.out","w",stdout);
	register int i; read(n); size=sqrt(n); tot=(n-1)/size+1;
	for (i=1;i<=n;++i)
	read(a[i]),r[blk[i]=(i-1)/size+1].push_back(a[i]);
	for (i=1;i<=tot;++i)
	sort(r[i].begin(),r[i].end());
	for (i=1;i<=n;++i)
	{
		read(opt); read(x); read(y); read(z);
		if (opt) write(query(x,y,z)),putchar('\n'); else modify(x,y,z);
	}
	return 0;
}