洛谷 P2158 [SDOI2008]仪仗队 解题报告

P2158 [SDOI2008]仪仗队

题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

输入输出格式

输入格式：

共一个数N

输出格式：

共一个数，即C君应看到的学生人数。

说明

对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

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今天看了一天的欧拉函数，明天月考放飞自我了...

对于欧拉函数

将正整数\(N\)用算术基本定理进行分解\(N=\prod_{i=1}^k{c_i}^{m_i}\),\(k\)为\(N\)分解质因数后的质因子种类的个数。

则\(φ(N)=N* \prod_{i=1}^{k} (1-\frac{1}{c_i})\)

证明方法需要用到容斥原理。

几个性质：

1. 若\(gcd(a,b)=1\),则\(φ(ab)=φ(a)*φ(b)\)
   
   积性函数定义啊。

2. 若质数\(q\)满足\(q|n\)且\(q^2|n\),则\(φ(q)=φ(n/q)*q\)
   
   代入定义式可以得到

3. 若质数\(q\)满足\(q|n\)且\(q^2 \nmid n\),则\(φ(q)=φ(n/q)*(q-1)\)
   
   由积性函数性质得到

4. \(\sum_{d|n}φ(d)=n\)
   
   先证明是积性函数，再讨论单因子即可

5. \(φ(n)*n/2=\sum_{d},gcd(d,n)=1\)
   
   成对存在

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在看看这题。

我们以左下角为原点，第一行为\(x\)轴，第一列为\(y\)轴。

则若点\((x,y)\)能被看见，则\((dx,dy)\),\(d \in N^*\)会被遮挡

则点\((x,y)\)能被看见的条件为\(gcd(x,y)=1\),即它们互质。

那么对此，我们可以将我们要求的转换为\(\sum_{i=2}^n φ(i)\)

当然这只是右下角的一部分。

加上(0,1),(1,1),(1,0)三个点，最终答案为\(3+2*(\sum_{i=2}^n φ(i))\)

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对于欧拉函数的求和，我们可以借助线性筛的思想做到线性的复杂度

可以参考代码。

code:

#include <cstdio>
const int N=40010;
int v[N],prime[N],eu[N],cnt=0,ans=0,n;
void eular()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            v[i]=i;
            prime[++cnt]=i;
            eu[i]=i-1;
            ans+=eu[i];
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            int tmp=i*prime[j];
            if(v[i]<prime[j]||tmp>n) break;
            v[tmp]=prime[j];
            eu[tmp]=eu[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
            ans+=eu[tmp];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    n--;
    if(!n) {printf("0\n");return 0;}
    eular();
    printf("%d\n",(ans<<1)+3);
    return 0;
}

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2018.5.28