MT【233】染色正方形

有$n$个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这$n$个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染白色的正方形必须是偶数个,问有多少种不同的染色方法.

解答:设有$a_n$种不同的染法,则$\{a_n\}$对应的指数型母函数为
$f(x)=\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots\right)*\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots\right)$
$*\left(1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+\dfrac{x^{2n}}{2n!}+\cdots\right)$
得$f(x)=e^x*e^x\dfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})=\dfrac{1}{2}(e^{3x}+e^x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{\dfrac{1}{2}(3^n+1)\dfrac{x^n}{n!}}$
故$a_n=\dfrac{1}{2}(3^n+1)$
当然我们也可以直接写出递推式:$a_n=2a_{n-1}+(3^{n-1}-a_{n-1}),a_1=2$