2022-11-07 Acwing每日一题

本系列所有题目均为Acwing课的内容，发表博客既是为了学习总结，加深自己的印象，同时也是为了以后回过头来看时，不会感叹虚度光阴罢了，因此如果出现错误，欢迎大家能够指出错误，我会认真改正的。同时也希望文章能够让你有所收获，与君共勉！

今天来复习离散化的操作.

区间和

假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。

现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加 c。

接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数 l 和 r，你需要求出在区间 [l,r] 之间的所有数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 n 行，每行包含两个整数 x 和 c。

再接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围

−109≤x≤109,

1≤n,m≤105,

−109≤l≤r≤109,

−10000≤c≤10000

输入样例：

3 3

1 2

3 6

7 5

1 3

4 6

7 8

输出样例：

8

0

5

算法原理

离散化是建立了自然数到一段数列的映射(value->key)，如将x,l,r都放进alls这个数组里，实现了数轴离散化成区间，重新建立了新的区间范围，从而能在更小的区间范围里去进行其他操作。

第一步是去重。将重复出现的地址数去除掉，并且进行排序(为了后面好二分)。

第二步是处理插入，即在alls中找到要进行操作的位置x，返回其在alls中的位置作为数组a的键key，并添加对应的值c(value)。

第三步就是获得离散化后的数列a的前缀和s。

最后一步就是根据query获得查询区间的端点l和r，利用前缀和公式即可得到这一段区间所有经过操作的数字之和。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
vector<PII> add,query;
vector<int> alls;   // 存储所有的地址，不仅存储了增加操作的地址还由输出区间的地址，将无穷长的数轴给他分割成有限区间
int n,m;
int a[1000010],s[1000010];  // a数组是数轴离散化后的数组，对离散化后的数组求前缀和即可得到这一区间的和

int find(int x){
    int l = 0,r = alls.size()-1;    // alls中包含了需要操作的所有区间，因此搜索范围就是alls内存储的地址
    while(l < r){
        int mid = (l+r) >> 1;
        if(alls[mid] >= x){
            r = mid;
        }
        else{
            l = mid+1;
        }
    }
    return l + 1;	// 因为考虑前缀和的边界，因此直接+1就不需要考虑这个了
}

int main(){
    cin >> n >> m;

    for(int i=0; i < n ; ++i){
        int x,c;
        cin >> x >> c;  // 输入在x处的值增加c
        add.push_back({x,c});   // 将这一对pair装进add中
        alls.push_back(x); // 将x装进alls中
    }

    for(int i=0; i<m ; i ++){
        int l ,r;
        cin >> l >> r;  // 输入查询区间
        query.push_back({l,r});     // 将区间pair放入query中
        alls.push_back(l);  // 再将其放入alls中
        alls.push_back(r);
    }

    sort(alls.begin(),alls.end());  // 将地址进行排序
    alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());  // 去掉重复的操作地址

    for(auto item : add){   // 处理插入
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;    // a[x]连续的原因是因为alls中得下标是连续的，即使是插入也是在从0到alls.size()-1的区间内插入

    }
    // 区间求和
    for(int i=1; i <= alls.size() ; ++ i){
        s[i] = s[i-1] + a[i];
    }
    // 处理查询
    for(auto item:query){
        int l = find(item.first),r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l-1] << endl;
    }
    return 0;
}