SOJ1711 题解

题意

给定 \(n\) 个在数轴的区间 \([l_1,r_1],[l_2,r_2],...,[l_n,r_n]\)。

定义 \(I(x)\) 为所有包含 \([x,x+1]\) 的区间形成的集合，即 \(I(x)=\{k \mid [x,x+1] \subseteq [l_k,r_k] \}\)。

称一个数列 \(S\) 是好的当且仅当存在一个整数 \(x\) 满足 \(I(x)\) 中的元素从小到大排序后等于 \(S\) 且 \(S\) 的长度非 \(0\)。

给定 \(k\)，求字典序第 \(k\) 小的好的数列。如果好数列的数量不足 \(k\) 个，输出 -1。

\(1 \le n \le 3 \times 10^5,1 \le k \le 10^{18},0 \le l_i < r_i \le 10^9\)。

题解

考试的题目。然而我并不会……

很羡慕 positive1 大师，1h 就切掉了，而我想了 2h 仍然毫无头绪……是套路见少了，还是思维质量不行，或是二者兼有？

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显然可以先离散化，那么就是 \(2n\) 个小区间。则 \(k\) 一定小于 \(2n\)。

求字典序第 \(k\) 小，则枚举每一位放什么。也就是要求包含 \(i\) 的不同 \(I(x)\) 的数量。

那么先对 \(I(x)\) 离散化。这个可以用哈希解决。

设当前枚举到第 \(i\) 个区间，则要求 \(l_i\) 到 \(r_i\) 间不同颜色的数量。同时，\(i\) 之前的区间对 \(i\) 有影响：必须包含之前选的区间，不包含之前不选的区间。

此时我们发现问题转化为了区间数颜色与区间覆盖。看数据范围，不能用线段树与 \(\text{bitset}\)，然后就不会做了……（有人用 \(\text{ODT}\) 做，应该能卡？不过我也不会）

实际上，有一个很好的性质：对于任意两个颜色相等的位置 \(x,y\)，一定有 \(\forall i,([l_i,r_i] \subseteq [x,y]) \vee ([x,y] \subseteq [l_i,r_i]) \vee ([l_i,r_i] \cap [x,y]=\varnothing)=1\)（可能没有考虑边界情况）。读者自证不难。

那么一个区间若包含某种颜色 \(i\)，则必然包含所有颜色为 \(i\) 的位置。于是只在第一个位置算颜色 \(i\) 的贡献。那么就容易用线段树维护了。