LGP6667题解

既然看到了这道“板子”，那还是来写一下题解吧。。。

如果有机会希望能推一下 载谈binominial sum 的做法。

\[\sum_{k=0}^nf(k)\binom n kx^k(1-x)^{n-k}
\]

看到组合数和多项式求值就去想下降幂吧，因为没什么别的好办法了。。。

设下降幂多项式 \(g(x)=f(x)\)。

\[\sum_{i=0}^m g_i\sum_{k=0}^n\binom n k k^{\underline i} x^k(1-x)^{n-k}
\]

自从联合省选 2020 之后全世界都知道了 \(\binom n m m^{\underline k}=\binom {n-k} {m-k} n^{\underline k}\)。

\[\sum_{i=0}^mg_i\sum_{k=i}^n\binom {n-i} {k-i} n^{\underline i}x^k(1-x)^{n-k}
\]

\[\sum_{i=0}^m g_i n^{\underline i} x^i\sum_{k=0}^{n-i}\binom {n-i} kx^k(1-x)^{n-i-k}
\]

后面根据二项式定理得到是 \(1\)。

\[\sum_{i=0}^m g_i n^{\underline i} x^i
\]

然后把点值乘上 \(e^{-x}\) 就是下降幂多项式了。

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define IMP(lim,anw) for(i=0;i^(lim);++i)anw
typedef unsigned ui;
const ui M=1e5+5,mod=998244353;
ui buf[M<<2];ui *now=buf,*w[23];
ui n,m,x,f[M],g[M];
inline void swap(ui&a,ui&b){
	ui c=a;a=b;b=c;
}
inline ui Add(const ui&a,const ui&b){
	return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;
}
inline ui Del(const ui&a,const ui&b){
	return b>a?a-b+mod:a-b;
}
inline void px(ui*f,ui*g,const ui&len){
	for(ui i=0;i^len;++i)f[i]=1ull*f[i]*g[i]%mod;
}
inline ui pow(ui a,ui b=mod-2){
	ui ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ull*a*a%mod)if(b&1)ans=1ull*ans*a%mod;
	return ans;
}
inline void NTT_init(const ui&m){
	ui i,j,n,lim(0);while((1<<lim)<m)++lim;n=1<<lim++;
	w[lim]=now;now+=1<<lim-1;
	w[lim][0]=1;w[lim][1]=pow(3,(mod-1>>1)/n);
	for(i=2;i<(1<<lim-1);++i)w[lim][i]=1ull*w[lim][i-1]*w[lim][1]%mod;
	for(j=lim-1;j>=1;--j){
		w[j]=now;now+=1<<j;
		IMP(1<<j,w[j][i]=w[j+1][i<<1]);
	}
}
inline void DFT(ui*f,const ui&n,const ui&M){
	ui i,k,d,x,y,*W,*fl,*fr,len;
	for(len=n>>1,d=M-1;len^0;len>>=1,--d){
		W=w[d];
		for(k=0;k^n;k+=len<<1){
			fl=f+(k);fr=f+(k|len);
			IMP(len,(x=fl[i],y=fr[i])),fl[i]=Add(x,y),fr[i]=1ull*Del(x,y)*W[i]%mod;
		}
	}
}
inline void IDFT(ui*f,const ui&n,const ui&M){
	ui i,k,d,x,y,*W,*fl,*fr,len;
	for(len=1,d=1;len^n;len<<=1,++d){
		W=w[d];
		for(k=0;k^n;k+=len<<1){
			fl=f+(k);fr=f+(k|len);
			IMP(len,(x=fl[i],y=1ull*fr[i]*W[i]%mod)),fl[i]=Add(x,y),fr[i]=Del(x,y);
		}
	}
	k=pow(n);IMP(n,f[i]=1ull*f[i]*k%mod);
	for(i=1;(i<<1)<n;++i)swap(f[i],f[n-i]);
}
signed main(){
	ui i,n,a(1),b(1),ans(0),len(0);
	scanf("%u%u%u",&n,&m,&x);++m;NTT_init(m<<1);g[0]=1;
	for(i=0;i<m;++i)scanf("%u",f+i);while((1<<len)<(m<<1))++len;
	for(i=1;i<m;++i)g[i]=1ull*g[i-1]*i%mod;g[m-1]=pow(g[m-1],mod-2);
	for(i=m-2;i>=1;--i)g[i]=g[i+1]*(i+1ull)%mod;
	for(i=0;i<m;++i)f[i]=1ull*f[i]*g[i]%mod;for(i=1;i<m;i+=2)g[i]=mod-g[i];
	DFT(f,1<<len,len+1);DFT(g,1<<len,len+1);px(f,g,1<<len);IDFT(f,1<<len,len+1);
	for(i=0;i<m;++i)ans=(ans+1ull*f[i]*a%mod*b)%mod,a=1ull*a*(n-i)%mod,b=1ull*b*x%mod;printf("%u",ans);
}