【洛谷P1754 球迷购票问题】题解

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卡特兰数经典 \(\texttt{AB}\) 分拆问题。

分析：

题意相当于排列 \(n\) 个 \(\texttt A\) 和 \(n\) 个 \(\texttt B\)，使得相邻 \(\texttt{AB}\)（有序！）消掉，然后左右元素并到一起再消，最后消完的序列个数。

设 \(\texttt{AB}\) 为一个组“1”，\(\texttt{AB}\) 自嵌套一次为一个组“2”（即 \(\texttt{AABB}\)），以此类推。

后面大多数数字指组“数字”

题意即转换为一个数 \(n\)，求 \(n\) 分解成若干个正整数之和的方案数。

神犇到这一步就可以切掉了吧。

我们这里考虑隔板法：

两个 \(1\) 当然可以合并 \(2\)（\(=1+1\)），\(a\) 和 \(b\) 当然可以合并 \(a+b\)，问题转换为有 \(n\) 个 \(1\) 有多少种合并方案。

设 \(n\) 个数的方案数为 \(f(n)\)。

考虑将 \(f(n)\) 分解为 \(f(x_0+y_0)\)。

使用隔板：

• 当隔板在最左侧时，\(x_0=0\)，\(f(0)=1\)；\(y_0=n\)，因为要求合并，所以有 \(n-1\) 种，由乘法原理知，此步答案为 \(f(0)f(n-1)\)。
• 隔板向右移动一格，\(x_0=1\)，也就是 \(f(1)\)；\(y_0=n-1\)，同理是 \(n-2\) 种，由乘法原理知，此步答案为 \(f(1)f(n-2)\)。
• \(\dots\)
• 归纳一下，第 \(i\) 步为 \(f(i)f(n-i-1)\)。
• 最后一步显然是 \(f(n-1)f(0)\)；左右对称。

于是得出递推式：

\[f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+f(2)f(n-3)+\dots+f(i)f(n-i-1)+\dots+f(n-1)f(0)
\]

朴素 dp 即可：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=25;
typedef long long ll;
ll n,dp[N];
int main()
{
	cin>>n;
	dp[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
	cout<<dp[n];
	return 0;
}

但是在深入一步，会发现 \(f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+f(2)f(n-3)+\dots+f(i)f(n-i-1)+\dots+f(n-1)f(0)\) 的这个 \(f(n)\) 正好就是卡特兰数 \(C_n\)，这个公式正好是一个卡特兰数的递推式。