【APIO2016】Gap

题目描述

有 $N$ 个严格递增的非负整数 $a_1, a_2, \dots, a_N$（$0 \leq a_1 < a_2 < \cdots < a_N \leq 10^{18}$）。你需要找出 $a_{i + 1} - a_i$（$0 \leq i \leq N - 1$）里的最大的值。

你的程序不能直接读入这个整数序列,但是你可以通过给定的函数来查询该序列的信息。关于查询函数的细节,请根据你所使用的语言,参考下面的实现细节部分。

你需要实现一个函数,该函数返回 $a_{i + 1} - a_i$（$0 \leq i \leq N - 1$）中的最大值。

实现细节

本题只支持 C/C++/Pascal。

C/C++

你需要包含头文件 gap.h。

你需要实现一个函数 findGap(T, N)，该函数接受下面的参数，并返回一个 long long 类型的整数：

• $T$：子任务的编号（$1$ 或者 $2$）
• $N$：序列的长度

你的函数 findGap 可以调用系统提供的查询函数 MinMax(s, t, &mn, &mx)，该函数的前两个参数 $s$ 和 $t$ 是 long long 类型的整数，后两个参数 &mn 和 &mx 是 long long 类型的整数的指针（mn 和 mx 是 long long 类型的整数）。当 MinMax(s, t, &mn, &mx) 返回时，变量 mn 将会存储满足 $a_i \in [s, t]$ 中 $a_i$ 的最小值，变量 mx 将会存储满足 $a_i \in [s, t]$，$a_i$ 的最大值。如果区间 $[s, t]$ 中没有序列中的数，则 mn 和 mx 都将存储 $-1$。在查询时需要满足 $s \leq t$，否则程序将会终止，该测试点计为 $0$ 分。

Pascal

你需要使用单元 graderhelperlib。

你需要实现一个函数 findGap(T, N)，该函数接受下面的参数，并返回一个 Int64 类型的整数：

• $T$：子任务的编号（$1$ 或者 $2$）（Integer 类型）
• $N$：序列的长度（LongInt 类型）

你的函数 findGap 可以调用系统提供的查询函数 MinMax(s, t, mn, mx)，该函数的前两个参数 $s$ 和 $t$ 是 Int64 类型的整数，后两个参数 mn 和 mx 是传引用方式的 Int64 类型的整数（过程内部对这两个变量的修改会影响到外部的对应变量的值）。当 MinMax(s, t, mn, mx) 执行完毕时，变量 mn 将会存储满足 $a_i \in [s, t]$ 中 $a_i$ 的最小值，变量 mx 将会存储满足 $a_i \in [s, t]$，$a_i$ 的最大值。如果区间 $[s, t]$ 中没有序列中的数，则 mn 和 mx 都将存储 $-1$。在查询时需要满足 $s \leq t$，否则程序将会终止，该测试点计为 $0$ 分。

样例一

C/C++

考虑 $N = 4, a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 6, a_4 = 8$。

则答案应该是 $3$，可以通过下面的几组对 MinMax 的询问获得：

• 调用 MinMax(1, 2, &mn, &mx)，则 mn 和 mx 皆返回 $2$。
• 调用 MinMax(3, 7, &mn, &mx)，则 mn 返回 $3$，mx 返回 $6$。
• 调用 MinMax(8, 9, &mn, &mx)，则 mn 和 mx 皆返回 $8$。

Pascal

考虑 $N = 4, a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 6, a_4 = 8$。

则答案应该是 $3$，可以通过下面的几组对 MinMax 的询问获得：

• 调用 MinMax(1, 2, mn, mx)，则 mn 和 mx 皆返回 $2$。
• 调用 MinMax(3, 7, mn, mx)，则 mn 返回 $3$，mx 返回 $6$。
• 调用 MinMax(8, 9, mn, mx)，则 mn 和 mx 皆返回 $8$。

样例评测方式

样例测评系统从标准输入中读入两行。第一行包含两个整数，子任务编号 $T$，和序列长度 $N$。第二行包含 $N$ 个严格递增的非负整数。然后该程序会向标准输出中写入两行，第一行为 findGap 的返回值，第二行为花费 $M$ 的值。

下面的输入描述了上面的样例：

2 4
2 3 6 8

限制与约定

对于所有的测试点，有 $2 \leq N \leq 100000$。

每一个测试点开始测试之前，$M$ 都将被初始化为 $0$。

子任务 1（30 分）：每一次调用 MinMax 都将使 $M$ 加 $1$。为了获得所有分数，需要满足对于该子任务下的所有测试点，都有 $M \leq \frac{N + 1}{2}$。

子任务 2（70 分）：定义 $k$ 为调用 MinMax 时，区间 $[s, t]$ 中的序列中数的数量。每次调用 MinMax，将使 $M$ 加上 $k + 1$。对于每一个测试点，如果 $M \leq 3N$，你将得到 70 分，否则将得到 $\frac{60}{\sqrt{M/N + 1} - 1}$ 分。你的该子任务的得分是其下所有测试点中的最低分。

下载

样例及测评库下载

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子任务1分析

这个比较简单

我们首先通过询问最大值和最小值得到这个序列的第一项和最后一项

然后依次缩小范围，可以整个序列，这样的询问次数恰好符合标准

然后我们只要用\(O(n)\)来得到相邻差的最大值即可

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<climits>
#include<string>
#include"gap.h"
#define LL long long
using namespace std;
const LL INF=1000000000000000000LL;
LL a[100010];
LL findGap(int T,int n)
{
    if (T==1)
    {
        MinMax(0,INF,&a[1],&a[n]);
        for (int i=2;i<=n/2;i++)
            MinMax(a[i-1]+1,a[n-i+2]-1,&a[i],&a[n-i+1]);
        LL x;
        if (n%2==1) MinMax(a[n/2]+1,a[n/2+2]-1,&a[n/2+1],&x);
        LL ans=a[2]-a[1];
        for (int i=3;i<=n;i++)
            ans=max(ans,a[i]-a[i-1]);
        return ans;
    }
    else
    {
    }
}

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子任务2分析

我们首先必须询问\([0,10^{18}]\)，得到最小值\(x\)，最大值\(y\)，这次询问的代价为\(n+1\)

然后就需要用到一个数学技巧

设\(L=[\frac {(s1-t1)}{N}]\)（向上取整），显然最终的答案一定会大于等于平均值\(L\)

所以当我们只用关心区间内的最小值和最大值即可

这样我们一次询问长度为L的区间，理论上代价和为\(3n-1\)，正好AC

不知道为什么，我的询问次数都是\(3n\)，可能是我比较菜不过也能过QAQ

下面给出完整的代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<climits>
#include<string>
#include"gap.h"
#define LL long long
using namespace std;
const LL INF=1000000000000000000LL;
LL a[100010];
LL findGap(int T,int n)
{
    if (T==1)
    {
        MinMax(0,INF,&a[1],&a[n]);
        for (int i=2;i<=n/2;i++)
            MinMax(a[i-1]+1,a[n-i+2]-1,&a[i],&a[n-i+1]);
        LL x;
        if (n%2==1) MinMax(a[n/2]+1,a[n/2+2]-1,&a[n/2+1],&x);
        LL ans=a[2]-a[1];
        for (int i=3;i<=n;i++)
            ans=max(ans,a[i]-a[i-1]);
        return ans;
    }
    else
    {
        LL l,x,y,MIN,MAX,p,ans;
        MinMax(0,INF,&x,&y);
        l=(y-x-1)/(n-1)+1;ans=0;p=x;
        while (x<=y)
        {
            MinMax(x,x+l,&MIN,&MAX);
            x+=l+1;
            if (MIN!=-1) ans=max(ans,MIN-p),p=MAX;
        }
        ans=max(ans,MAX-MIN);
        return ans;
    }
}